Номер 9, страница 233 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

9. Разложите на множители выражение

$x - y + \sqrt{-x} + \sqrt{-y}. $

$(\sqrt{-x} + \sqrt{-y})(\sqrt{-x} - \sqrt{-y} + 1);$

$(\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{-y} - \sqrt{-x} + 1);$

$(\sqrt{-x} + \sqrt{-y})(\sqrt{-y} - \sqrt{-x} + 1);$

$(\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{y} - \sqrt{x} + 1);$

$(\sqrt{-x} + \sqrt{-y})\sqrt{-y}.$

Для того чтобы разложить на множители выражение $x - y + \sqrt{-x} + \sqrt{-y}$, необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ). Поскольку подкоренные выражения не могут быть отрицательными, должны выполняться следующие условия:

$-x \ge 0 \implies x \le 0$
$-y \ge 0 \implies y \le 0$

При этих условиях мы можем представить переменные $x$ и $y$ через квадратные корни от их противоположных значений. Так как $x \le 0$, то $-x \ge 0$, и мы можем записать $x = -(-x) = -(\sqrt{-x})^2$. Аналогично, так как $y \le 0$, то $-y \ge 0$, и $y = -(-y) = -(\sqrt{-y})^2$.

Подставим эти представления в исходное выражение:
$x - y + \sqrt{-x} + \sqrt{-y} = -(\sqrt{-x})^2 - ( -(\sqrt{-y})^2 ) + \sqrt{-x} + \sqrt{-y}$
$= -(\sqrt{-x})^2 + (\sqrt{-y})^2 + \sqrt{-x} + \sqrt{-y}$

Перегруппируем слагаемые. Сначала запишем разность квадратов, а затем оставшиеся члены:
$((\sqrt{-y})^2 - (\sqrt{-x})^2) + (\sqrt{-x} + \sqrt{-y})$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к первой группе слагаемых:
$(\sqrt{-y} - \sqrt{-x})(\sqrt{-y} + \sqrt{-x}) + (\sqrt{-x} + \sqrt{-y})$

Теперь мы видим общий множитель $(\sqrt{-x} + \sqrt{-y})$, который можно вынести за скобки:
$(\sqrt{-x} + \sqrt{-y}) \cdot [(\sqrt{-y} - \sqrt{-x}) + 1]$
$= (\sqrt{-x} + \sqrt{-y})(\sqrt{-y} - \sqrt{-x} + 1)$

Полученное выражение соответствует варианту ответа в).

Ответ: $(\sqrt{-x} + \sqrt{-y})(\sqrt{-y} - \sqrt{-x} + 1)$