Номер 8, страница 232 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

8. Сократите дробь $\frac{7 - 4\sqrt{3}}{3\sqrt{3} - 6}$.

a) $\frac{\sqrt{3} - 2}{3}$;

б) $\frac{7}{6}$;

в) $\frac{2 - \sqrt{3}}{3}$;

г) $\sqrt{3}$;

д) $-4\sqrt{3}$.

Для того чтобы сократить дробь $\frac{7 - 4\sqrt{3}}{3\sqrt{3} - 6}$, необходимо преобразовать числитель и знаменатель таким образом, чтобы можно было выделить и сократить общие множители. Это можно сделать двумя основными способами.

Способ 1: Разложение на множители

Этот способ основан на поиске общих множителей в числителе и знаменателе.

1. Сначала преобразуем знаменатель. Вынесем общий множитель 3 за скобки:

$3\sqrt{3} - 6 = 3(\sqrt{3} - 2)$

2. Теперь преобразуем числитель. Выражение $7 - 4\sqrt{3}$ можно представить в виде квадрата разности, используя формулу $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Попробуем найти такие $a$ и $b$. Заметим, что $7 - 4\sqrt{3}$ можно записать как $4 - 4\sqrt{3} + 3$. Это выражение является полным квадратом:

$4 - 4\sqrt{3} + 3 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (2 - \sqrt{3})^2$

3. Подставим полученные выражения обратно в дробь:

$\frac{7 - 4\sqrt{3}}{3\sqrt{3} - 6} = \frac{(2 - \sqrt{3})^2}{3(\sqrt{3} - 2)}$

4. Чтобы сократить дробь, заметим, что выражения в скобках в числителе и знаменателе отличаются только знаком: $2 - \sqrt{3} = -(\sqrt{3} - 2)$. Так как числитель возводится в квадрат, знак не имеет значения: $(2 - \sqrt{3})^2 = (-(\sqrt{3} - 2))^2 = (\sqrt{3} - 2)^2$.

Перепишем дробь и сократим:

$\frac{(\sqrt{3} - 2)^2}{3(\sqrt{3} - 2)} = \frac{\sqrt{3} - 2}{3}$

Способ 2: Умножение на сопряженное выражение

Этот способ заключается в том, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным к $3\sqrt{3} - 6$ является $3\sqrt{3} + 6$.

1. Умножим дробь:

$\frac{7 - 4\sqrt{3}}{3\sqrt{3} - 6} = \frac{(7 - 4\sqrt{3})(3\sqrt{3} + 6)}{(3\sqrt{3} - 6)(3\sqrt{3} + 6)}$

2. Преобразуем знаменатель, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$(3\sqrt{3} - 6)(3\sqrt{3} + 6) = (3\sqrt{3})^2 - 6^2 = 9 \cdot 3 - 36 = 27 - 36 = -9$

3. Раскроем скобки в числителе:

$(7 - 4\sqrt{3})(3\sqrt{3} + 6) = 7 \cdot 3\sqrt{3} + 7 \cdot 6 - 4\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} - 4\sqrt{3} \cdot 6 = 21\sqrt{3} + 42 - 12 \cdot 3 - 24\sqrt{3} = (42 - 36) + (21\sqrt{3} - 24\sqrt{3}) = 6 - 3\sqrt{3}$

4. Соберем дробь и упростим:

$\frac{6 - 3\sqrt{3}}{-9}$

Вынесем в числителе общий множитель 3 и сократим:

$\frac{3(2 - \sqrt{3})}{-9} = \frac{2 - \sqrt{3}}{-3}$

Избавимся от знака минус в знаменателе, умножив на него числитель:

$\frac{-(2 - \sqrt{3})}{3} = \frac{-2 + \sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3} - 2}{3}$

Оба способа приводят к одинаковому результату, который соответствует варианту а) в списке ответов.

Ответ: $\frac{\sqrt{3} - 2}{3}$