Номер 15, страница 233 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

15. Найдите значение выражения

$\sqrt{10a + 2\sqrt{25a^2 - b^2}} - \sqrt{10a - 2\sqrt{25a^2 - b^2}} - 2\sqrt{5a - b}$ при

$a = \sqrt{2}, b = \sqrt[3]{3}.$

Для нахождения значения выражения сначала упростим его в общем виде, а затем проверим корректность преобразований для заданных значений $a$ и $b$.

Обозначим исходное выражение как $E$:

$E = \sqrt{10a + 2\sqrt{25a^2 - b^2}} - \sqrt{10a - 2\sqrt{25a^2 - b^2}} - 2\sqrt{5a-b}$

Первые два слагаемых представляют собой сложные (вложенные) радикалы вида $ \sqrt{X \pm 2\sqrt{Y}} $. Для их упрощения можно использовать формулу $ \sqrt{u+v \pm 2\sqrt{uv}} = |\sqrt{u} \pm \sqrt{v}| $, которая следует из формулы квадрата суммы или разности $ (\sqrt{u} \pm \sqrt{v})^2 = u+v \pm 2\sqrt{uv} $.

Рассмотрим выражение под первым, самым внешним, корнем: $10a + 2\sqrt{25a^2 - b^2}$.
Здесь нам нужно найти такие $u$ и $v$, что $u+v = 10a$ и $uv = 25a^2 - b^2$.
Разложим $25a^2 - b^2$ на множители как разность квадратов: $25a^2 - b^2 = (5a+b)(5a-b)$.
Пусть $u = 5a+b$ и $v = 5a-b$. Проверим их сумму: $u+v = (5a+b) + (5a-b) = 10a$.
Условия выполняются. Следовательно, первое слагаемое можно переписать как:

$ \sqrt{10a + 2\sqrt{(5a+b)(5a-b)}} = \sqrt{(5a+b) + (5a-b) + 2\sqrt{(5a+b)(5a-b)}} = \sqrt{(\sqrt{5a+b} + \sqrt{5a-b})^2} $

Извлекая корень, получаем:

$|\sqrt{5a+b} + \sqrt{5a-b}| = \sqrt{5a+b} + \sqrt{5a-b}$ (так как сумма арифметических корней всегда неотрицательна).

Аналогично упростим второе слагаемое:

$ \sqrt{10a - 2\sqrt{25a^2 - b^2}} = \sqrt{(\sqrt{5a+b} - \sqrt{5a-b})^2} = |\sqrt{5a+b} - \sqrt{5a-b}| $

Чтобы раскрыть модуль, необходимо сравнить значения $\sqrt{5a+b}$ и $\sqrt{5a-b}$. Поскольку по условию $b = \sqrt[3]{3} > 0$, то $5a+b > 5a-b$, и, следовательно, $\sqrt{5a+b} > \sqrt{5a-b}$. Разность под модулем положительна, поэтому:

$|\sqrt{5a+b} - \sqrt{5a-b}| = \sqrt{5a+b} - \sqrt{5a-b}$

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходное:

$E = (\sqrt{5a+b} + \sqrt{5a-b}) - (\sqrt{5a+b} - \sqrt{5a-b}) - 2\sqrt{5a-b}$

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

$E = \sqrt{5a+b} + \sqrt{5a-b} - \sqrt{5a+b} + \sqrt{5a-b} - 2\sqrt{5a-b}$

$E = (\sqrt{5a+b} - \sqrt{5a+b}) + (\sqrt{5a-b} + \sqrt{5a-b}) - 2\sqrt{5a-b}$

$E = 0 + 2\sqrt{5a-b} - 2\sqrt{5a-b} = 0$

Мы получили, что значение выражения равно 0. Это верно, если все подкоренные выражения в ходе преобразований были неотрицательны. Проверим это для заданных $a = \sqrt{2}$ и $b = \sqrt[3]{3}$.

1. $5a-b = 5\sqrt{2} - \sqrt[3]{3}$. Сравним $5\sqrt{2}$ и $\sqrt[3]{3}$. Возведем оба числа в степень 6: $(5\sqrt{2})^6 = 5^6 \cdot (\sqrt{2})^6 = 15625 \cdot 2^3 = 125000$, а $(\sqrt[3]{3})^6 = 3^2 = 9$. Так как $125000 > 9$, то $5\sqrt{2} > \sqrt[3]{3}$, значит $5a-b > 0$.
2. $5a+b = 5\sqrt{2} + \sqrt[3]{3} > 0$, так как это сумма положительных чисел.
3. $25a^2 - b^2 = 25(\sqrt{2})^2 - (\sqrt[3]{3})^2 = 50 - \sqrt[3]{9}$. Так как $2^3=8$ и $3^3=27$, то $2 < \sqrt[3]{9} < 3$. Следовательно, $50 - \sqrt[3]{9} > 0$.

Все условия выполнены, следовательно, наши преобразования корректны, и значение выражения действительно равно 0.

Ответ: $0$