Номер 10, страница 233 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

10. Найдите значение выражения $ \sqrt{25a^2} + \sqrt[3]{64a^3} - \sqrt[4]{16a^4} - \sqrt[6]{676} $

при $ a = \sqrt[3]{26} - 3. $

1. Упрощение выражения

Сначала упростим каждый член исходного выражения $\sqrt{25a^2} + \sqrt[3]{64a^3} - \sqrt[4]{16a^4} - \sqrt[6]{676}$. Для этого воспользуемся свойствами корней: $\sqrt[n]{x^n} = |x|$ для четного показателя корня $n$ и $\sqrt[n]{x^n} = x$ для нечетного $n$.
- $\sqrt{25a^2} = \sqrt{(5a)^2} = |5a| = 5|a|$
- $\sqrt[3]{64a^3} = \sqrt[3]{(4a)^3} = 4a$
- $\sqrt[4]{16a^4} = \sqrt[4]{(2a)^4} = |2a| = 2|a|$
- $\sqrt[6]{676}$. Поскольку $676 = 26^2$, то $\sqrt[6]{676} = \sqrt[6]{26^2} = 26^{\frac{2}{6}} = 26^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{26}$.
Теперь подставим упрощенные части обратно в выражение:
$5|a| + 4a - 2|a| - \sqrt[3]{26} = (5-2)|a| + 4a - \sqrt[3]{26} = 3|a| + 4a - \sqrt[3]{26}$.

2. Определение знака переменной a

Чтобы раскрыть модуль $|a|$, необходимо определить знак переменной $a$, где $a = \sqrt[3]{26} - 3$.
Сравним значения $\sqrt[3]{26}$ и $3$. Для этого возведем оба числа в третью степень:
$(\sqrt[3]{26})^3 = 26$
$3^3 = 27$
Так как $26 < 27$, то $\sqrt[3]{26} < \sqrt[3]{27}$, что означает $\sqrt[3]{26} < 3$.
Следовательно, разность $a = \sqrt[3]{26} - 3$ является отрицательным числом, то есть $a < 0$.

3. Вычисление итогового значения

Поскольку $a < 0$, по определению модуля $|a| = -a$.
Подставим это в выражение, полученное на первом шаге:
$3|a| + 4a - \sqrt[3]{26} = 3(-a) + 4a - \sqrt[3]{26} = -3a + 4a - \sqrt[3]{26} = a - \sqrt[3]{26}$.
Наконец, подставим значение $a = \sqrt[3]{26} - 3$ в итоговое упрощенное выражение:
$a - \sqrt[3]{26} = (\sqrt[3]{26} - 3) - \sqrt[3]{26} = \sqrt[3]{26} - 3 - \sqrt[3]{26} = -3$.
Ответ: -3