Номер 3, страница 231 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3. Известно, что значение выражения $\frac{\sqrt[7]{a^7} - \sqrt[6]{a^6}}{-2a}$ равно $-1$. Тогда $a$ принимает любое значение из промежутка ...

а) $(0; +\infty);$

б) $[0; +\infty);$

в) $(-\infty; 0);$

г) $(-\infty; 0];$

д) $(-\infty; +\infty).$

Для решения задачи необходимо упростить данное выражение и решить полученное уравнение.

Исходное выражение: $ \frac{\sqrt[7]{a^7} - \sqrt[6]{a^6}}{-2a} $.

По условию, значение этого выражения равно $-1$. Составим уравнение: $ \frac{\sqrt[7]{a^7} - \sqrt[6]{a^6}}{-2a} = -1 $

В первую очередь определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $a$. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, следовательно, $-2a \ne 0$, что означает $a \ne 0$.

Теперь упростим числитель. Для этого вспомним свойства корней n-ой степени:

• Корень нечетной степени из числа в той же нечетной степени равен самому числу: $ \sqrt[2n+1]{x^{2n+1}} = x $ для любого $x$.
• Корень четной степени из числа в той же четной степени равен модулю этого числа: $ \sqrt[2n]{x^{2n}} = |x| $ для любого $x$.

Применяя эти свойства к нашему выражению, получаем:

• $ \sqrt[7]{a^7} = a $ (так как степень 7 нечетная).
• $ \sqrt[6]{a^6} = |a| $ (так как степень 6 четная).

Подставим упрощенные выражения обратно в уравнение: $ \frac{a - |a|}{-2a} = -1 $

Для решения этого уравнения рассмотрим два случая, в зависимости от знака $a$.

Случай 1: $ a > 0 $
Если $a$ - положительное число, то $|a| = a$. Уравнение принимает вид: $ \frac{a - a}{-2a} = -1 $
$ \frac{0}{-2a} = -1 $
$ 0 = -1 $
Это неверное равенство, следовательно, при $ a > 0 $ решений нет.

Случай 2: $ a < 0 $
Если $a$ - отрицательное число, то $|a| = -a$. Уравнение принимает вид: $ \frac{a - (-a)}{-2a} = -1 $
$ \frac{a + a}{-2a} = -1 $
$ \frac{2a}{-2a} = -1 $
$ -1 = -1 $
Это верное равенство, которое выполняется для всех значений $a$ из рассматриваемого промежутка, то есть для всех $ a < 0 $.

Таким образом, исходное равенство верно для любого значения $a$ из промежутка $ (-\infty; 0) $. Сравнивая этот результат с предложенными вариантами, видим, что он соответствует варианту в).

Ответ: в) $(-\infty; 0)$