Номер 5, страница 232 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

5. Сократите дробь $\frac{a^{\frac{3}{2}} - a^{\frac{1}{2}}b^{-2}}{a^{\frac{1}{2}}b^{-1} - a}$ и вычислите ее значение при $a = 0,25$ и $b = \frac{1}{3}$.

а) -2,5;

б) -3;

в) -3,5;

г) -4;

д) -4,5.

Сокращение дроби

Исходное выражение: $\frac{a^{\frac{3}{2}} - a^{\frac{1}{2}}b^{-2}}{a^{\frac{1}{2}}b^{-1} - a}$.

Сначала преобразуем числитель. Вынесем за скобки общий множитель $a^{\frac{1}{2}}$:

$a^{\frac{3}{2}} - a^{\frac{1}{2}}b^{-2} = a^{\frac{1}{2}}(a - b^{-2})$.

Выражение в скобках $a - b^{-2}$ является разностью квадратов, так как $a = (a^{\frac{1}{2}})^2$ и $b^{-2} = (b^{-1})^2$. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$a - b^{-2} = (a^{\frac{1}{2}})^2 - (b^{-1})^2 = (a^{\frac{1}{2}} - b^{-1})(a^{\frac{1}{2}} + b^{-1})$.

Таким образом, числитель равен: $a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{-1})(a^{\frac{1}{2}} + b^{-1})$.

Теперь преобразуем знаменатель. Вынесем за скобки общий множитель $a^{\frac{1}{2}}$:

$a^{\frac{1}{2}}b^{-1} - a = a^{\frac{1}{2}}(b^{-1} - a^{\frac{1}{2}})$.

Вынесем знак минус из скобок, чтобы получить множитель, совпадающий с одним из множителей в числителе:

$a^{\frac{1}{2}}(b^{-1} - a^{\frac{1}{2}}) = -a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{-1})$.

Подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в дробь и выполним сокращение:

$\frac{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{-1})(a^{\frac{1}{2}} + b^{-1})}{-a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{-1})} = \frac{\cancel{a^{\frac{1}{2}}}\cancel{(a^{\frac{1}{2}} - b^{-1})}(a^{\frac{1}{2}} + b^{-1})}{-\cancel{a^{\frac{1}{2}}}\cancel{(a^{\frac{1}{2}} - b^{-1})}} = -(a^{\frac{1}{2}} + b^{-1})$.

Вычисление значения

Подставим заданные значения $a = 0,25$ и $b = \frac{1}{3}$ в упрощенное выражение $-(a^{\frac{1}{2}} + b^{-1})$.

Найдем значение $a^{\frac{1}{2}}$:

$a^{\frac{1}{2}} = (0,25)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{0,25} = 0,5$.

Найдем значение $b^{-1}$:

$b^{-1} = (\frac{1}{3})^{-1} = 3$.

Теперь вычислим значение всего выражения:

$-(a^{\frac{1}{2}} + b^{-1}) = -(0,5 + 3) = -3,5$.

Полученное значение соответствует варианту в).

Ответ: -3,5.