Номер 2, страница 231 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2. Представьте выражение $ \frac{x \sqrt[5]{x^2}}{(\sqrt[10]{x})^2} $ в виде степени с рациональным показателем.

а) $x^{\frac{8}{5}}$;

б) $x^{\frac{7}{2}}$;

в) $x^{\frac{6}{5}}$;

г) $x^{\frac{5}{6}}$;

д) $x$.

Для того чтобы представить выражение $\frac{x\sqrt[5]{x^2}}{(\sqrt[10]{x})^2}$ в виде степени с рациональным показателем, необходимо последовательно упростить числитель и знаменатель, а затем выполнить деление. Для этого воспользуемся свойствами степеней: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$, $a^p \cdot a^q = a^{p+q}$, $(a^p)^q = a^{pq}$ и $\frac{a^p}{a^q} = a^{p-q}$.

Шаг 1: Упрощение числителя

Представим каждый множитель в числителе в виде степени с рациональным показателем:

$x\sqrt[5]{x^2} = x^1 \cdot x^{\frac{2}{5}}$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:

$x^1 \cdot x^{\frac{2}{5}} = x^{1+\frac{2}{5}} = x^{\frac{5}{5}+\frac{2}{5}} = x^{\frac{7}{5}}$

Шаг 2: Упрощение знаменателя

Представим корень в знаменателе в виде степени и возведем в квадрат:

$(\sqrt[10]{x})^2 = (x^{\frac{1}{10}})^2$

При возведении степени в степень показатели перемножаются:

$(x^{\frac{1}{10}})^2 = x^{\frac{1}{10} \cdot 2} = x^{\frac{2}{10}} = x^{\frac{1}{5}}$

Шаг 3: Деление числителя на знаменатель

Теперь разделим полученное выражение для числителя на полученное выражение для знаменателя:

$\frac{x^{\frac{7}{5}}}{x^{\frac{1}{5}}}$

При делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитается показатель делителя:

$x^{\frac{7}{5} - \frac{1}{5}} = x^{\frac{6}{5}}$

Таким образом, исходное выражение равно $x^{\frac{6}{5}}$. Этот результат соответствует варианту ответа в).

Ответ: в) $x^{\frac{6}{5}}$.