Номер 4, страница 231 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

4. Вынесите множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt[4]{-a^{11}}$.

а) $a^8 \sqrt[4]{-a^3}$;

б) $-a^2 \sqrt[4]{a^3}$;

в) $a^2 \sqrt[4]{a^3}$;

г) $-a^2 \sqrt[4]{-a^3}$;

д) $a^2 \sqrt[4]{-a^3}$.

Для того чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt[4]{-a^{11}}$, необходимо выполнить следующие шаги.

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ)

Корень имеет четную степень (4), поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Это накладывает ограничение на переменную $a$:

$-a^{11} \ge 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$a^{11} \le 0$

Так как показатель степени 11 является нечетным числом, знак степени $a^{11}$ совпадает со знаком основания $a$. Следовательно, для выполнения неравенства необходимо, чтобы $a \le 0$. Это и есть область допустимых значений для данного выражения.

2. Преобразование подкоренного выражения

Наша цель — представить подкоренное выражение в виде произведения, из одного из сомножителей которого можно точно извлечь корень 4-й степени. Для этого показатель степени этого сомножителя должен быть кратен 4.

Представим $a^{11}$ как $a^8 \cdot a^3$, так как 8 — наибольшее число, не превосходящее 11 и кратное 4.

$\sqrt[4]{-a^{11}} = \sqrt[4]{- (a^8 \cdot a^3)} = \sqrt[4]{a^8 \cdot (-a^3)}$

3. Вынесение множителя

Воспользуемся свойством корня $\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y}$. Это свойство применимо для четного $n$, если оба сомножителя $x$ и $y$ неотрицательны. Проверим это условие для $a^8$ и $-a^3$ с учетом ОДЗ ($a \le 0$).

Множитель $a^8 = (a^2)^4$ всегда неотрицателен ($a^8 \ge 0$) для любого действительного $a$.

Множитель $-a^3$ при $a \le 0$ также неотрицателен. Действительно, если $a \le 0$, то $a^3 \le 0$, а значит $-a^3 \ge 0$.

Поскольку оба множителя под корнем неотрицательны, мы можем разделить корень:

$\sqrt[4]{a^8 \cdot (-a^3)} = \sqrt[4]{a^8} \cdot \sqrt[4]{-a^3}$

Теперь упростим $\sqrt[4]{a^8}$:

$\sqrt[4]{a^8} = \sqrt[4]{(a^2)^4}$

Согласно свойству $\sqrt[n]{x^n} = |x|$ для четного $n$:

$\sqrt[4]{(a^2)^4} = |a^2|$

Так как $a^2$ никогда не бывает отрицательным, то $|a^2| = a^2$.

Таким образом, $\sqrt[4]{a^8} = a^2$.

4. Получение окончательного результата

Соединив полученные части, получаем окончательное выражение:

$a^2 \cdot \sqrt[4]{-a^3}$

Теперь сравним полученный результат с предложенными вариантами ответа.

а) $a^8 \sqrt[4]{-a^3}$
Неверно. Степень вынесенного множителя $a$ должна быть $8/4=2$, а не 8.

б) $-a^2 \sqrt[4]{a^3}$
Неверно. Подкоренное выражение $a^3$ будет отрицательным при $a<0$ (из ОДЗ), поэтому корень четной степени из него не определен в действительных числах.

в) $a^2 \sqrt[4]{a^3}$
Неверно. По той же причине, что и в пункте б), выражение $\sqrt[4]{a^3}$ не определено для $a<0$.

г) $-a^2 \sqrt[4]{-a^3}$
Неверно. Исходное выражение $\sqrt[4]{-a^{11}}$ — это арифметический корень, его значение неотрицательно. Выражение $-a^2 \sqrt[4]{-a^3}$ является неположительным, так как $a^2 \ge 0$ и $\sqrt[4]{-a^3} \ge 0$. Равенство возможно только при $a=0$.

д) $a^2 \sqrt[4]{-a^3}$
Верно. Этот вариант полностью совпадает с нашим результатом.

Ответ: д) $a^2 \sqrt[4]{-a^3}$.