Номер 474, страница 230 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

474. Найдите область определения функции $y = \sqrt[4]{3x+1} + \log_2(3-x)$.

Область определения функции (ОДЗ) — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Данная функция $y = \sqrt[4]{3x+1} + \log_2(3-x)$ является суммой двух функций, поэтому ее область определения есть пересечение областей определения каждого из слагаемых.

1. Ограничение для корня четной степени

Первое слагаемое — это корень четвертой степени $\sqrt[4]{3x+1}$. Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным:

$3x + 1 \ge 0$

Решим это неравенство:

$3x \ge -1$

$x \ge -\frac{1}{3}$

Таким образом, для первого слагаемого область определения — это промежуток $[-\frac{1}{3}, +\infty)$.

2. Ограничение для логарифмической функции

Второе слагаемое — это логарифм $\log_2(3-x)$. Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:

$3 - x > 0$

Решим это неравенство:

$3 > x$

или

$x < 3$

Таким образом, для второго слагаемого область определения — это промежуток $(-\infty, 3)$.

3. Нахождение общей области определения

Чтобы найти область определения исходной функции, нужно найти пересечение найденных промежутков, то есть решить систему неравенств:

$\begin{cases} x \ge -\frac{1}{3} \\ x < 3 \end{cases}$

Решением этой системы является промежуток, где выполняются оба условия. На числовой прямой это будет пересечение луча $[-\frac{1}{3}, +\infty)$ и луча $(-\infty, 3)$.

Пересечением является полуинтервал от $-\frac{1}{3}$ включительно до $3$ не включительно.

Ответ: $[-\frac{1}{3}, 3)$.