Номер 467, страница 229 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

467. Показательная функция задана формулой $f(x) = 7^x$. Найдите:

а) $f(1);$

б) $f(-2);$

в) $f(0);$

г) $f(-1);$

д) $f\left(\frac{1}{2}\right);$

е) $f(\log_7 5).$

Для решения задачи необходимо найти значения показательной функции $f(x) = 7^x$ при различных значениях аргумента $x$. Это делается путем подстановки заданного значения $x$ в формулу функции.

а) $f(1)$;

Чтобы найти $f(1)$, подставляем $x=1$ в выражение для функции:

$f(1) = 7^1 = 7$.

Любое число в первой степени равно самому себе.

Ответ: $7$

б) $f(-2)$;

Чтобы найти $f(-2)$, подставляем $x=-2$:

$f(-2) = 7^{-2}$.

По свойству степени с отрицательным показателем, $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Применяя это свойство, получаем:

$7^{-2} = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49}$.

Ответ: $\frac{1}{49}$

в) $f(0)$;

Чтобы найти $f(0)$, подставляем $x=0$:

$f(0) = 7^0$.

Любое ненулевое число, возведенное в степень 0, равно 1.

$f(0) = 1$.

Ответ: $1$

г) $f(-1)$;

Чтобы найти $f(-1)$, подставляем $x=-1$:

$f(-1) = 7^{-1}$.

Используя свойство степени с отрицательным показателем $a^{-1} = \frac{1}{a}$, имеем:

$7^{-1} = \frac{1}{7}$.

Ответ: $\frac{1}{7}$

д) $f(\frac{1}{2})$;

Чтобы найти $f(\frac{1}{2})$, подставляем $x=\frac{1}{2}$:

$f(\frac{1}{2}) = 7^{\frac{1}{2}}$.

Степень с дробным показателем $\frac{1}{2}$ эквивалентна квадратному корню: $a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$.

$7^{\frac{1}{2}} = \sqrt{7}$.

Ответ: $\sqrt{7}$

е) $f(\log_7 5)$.

Чтобы найти $f(\log_7 5)$, подставляем $x=\log_7 5$:

$f(\log_7 5) = 7^{\log_7 5}$.

Это выражение соответствует основному логарифмическому тождеству: $a^{\log_a b} = b$. В данном случае $a=7$ и $b=5$.

$7^{\log_7 5} = 5$.

Ответ: $5$