Номер 464, страница 228 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

464. Степенная функция задана формулой $f(x) = x^{-\frac{1}{3}}$. Найдите:

а) $f(1)$;

б) $f(27)$;

в) $f\left(\frac{1}{125}\right)$;

г) $f(1000)$.

Дана степенная функция $f(x) = x^{-1/3}$. Для нахождения значений функции в указанных точках, будем подставлять эти значения вместо $x$ в формулу. Удобно использовать свойство степени с отрицательным и дробным показателем: $x^{-1/3} = \frac{1}{x^{1/3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$.

а) Чтобы найти $f(1)$, подставим $x=1$ в формулу функции:

$f(1) = 1^{-1/3} = \frac{1}{\sqrt[3]{1}}$

Так как кубический корень из 1 равен 1, получаем:

$f(1) = \frac{1}{1} = 1$.

Ответ: $1$.

б) Чтобы найти $f(27)$, подставим $x=27$ в формулу функции:

$f(27) = 27^{-1/3} = \frac{1}{\sqrt[3]{27}}$

Так как $3^3 = 27$, то кубический корень из 27 равен 3. Следовательно:

$f(27) = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

в) Чтобы найти $f(\frac{1}{125})$, подставим $x=\frac{1}{125}$ в формулу функции:

$f(\frac{1}{125}) = (\frac{1}{125})^{-1/3}$

Используя свойство степени $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$, получаем:

$(\frac{1}{125})^{-1/3} = (125)^{1/3} = \sqrt[3]{125}$

Так как $5^3 = 125$, то кубический корень из 125 равен 5.

$f(\frac{1}{125}) = 5$.

Ответ: $5$.

г) Чтобы найти $f(1000)$, подставим $x=1000$ в формулу функции:

$f(1000) = 1000^{-1/3} = \frac{1}{\sqrt[3]{1000}}$

Так как $10^3 = 1000$, то кубический корень из 1000 равен 10. Следовательно:

$f(1000) = \frac{1}{10}$.

Ответ: $\frac{1}{10}$.