Номер 458, страница 227 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

458. Для функции $h(x) = \sqrt[5]{x} - 3$ найдите $h(0)$; $h(-1)$; $h\left(\frac{1}{32}\right)$; $h(0,00243)$; $h(-25\sqrt{5})$.

Дана функция $h(x) = \sqrt[5]{x} - 3$. Чтобы найти значение функции для заданных аргументов, нужно подставить эти значения вместо $x$ в формулу функции.

h(0)

Подставим $x = 0$ в уравнение функции:

$h(0) = \sqrt[5]{0} - 3$

Корень пятой степени из нуля равен нулю:

$h(0) = 0 - 3 = -3$

Ответ: $-3$.

h(-1)

Подставим $x = -1$ в уравнение функции:

$h(-1) = \sqrt[5]{-1} - 3$

Корень нечетной степени из отрицательного числа существует. Поскольку $(-1)^5 = -1$, то $\sqrt[5]{-1} = -1$.

$h(-1) = -1 - 3 = -4$

Ответ: $-4$.

$h(\frac{1}{32})$

Подставим $x = \frac{1}{32}$ в уравнение функции:

$h(\frac{1}{32}) = \sqrt[5]{\frac{1}{32}} - 3$

Найдем корень пятой степени из дроби. Мы знаем, что $2^5 = 32$.

$\sqrt[5]{\frac{1}{32}} = \frac{\sqrt[5]{1}}{\sqrt[5]{32}} = \frac{1}{2}$

Теперь вычислим значение функции:

$h(\frac{1}{32}) = \frac{1}{2} - 3 = \frac{1}{2} - \frac{6}{2} = -\frac{5}{2} = -2,5$

Ответ: $-2,5$.

h(0,00243)

Подставим $x = 0,00243$ в уравнение функции:

$h(0,00243) = \sqrt[5]{0,00243} - 3$

Для удобства вычисления представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,00243 = \frac{243}{100000}$.

Найдем корни пятой степени из числителя и знаменателя. Мы знаем, что $3^5 = 243$ и $10^5 = 100000$.

$\sqrt[5]{0,00243} = \sqrt[5]{\frac{243}{100000}} = \frac{\sqrt[5]{243}}{\sqrt[5]{100000}} = \frac{3}{10} = 0,3$

Теперь вычислим значение функции:

$h(0,00243) = 0,3 - 3 = -2,7$

Ответ: $-2,7$.

$h(-25\sqrt{5})$

Подставим $x = -25\sqrt{5}$ в уравнение функции:

$h(-25\sqrt{5}) = \sqrt[5]{-25\sqrt{5}} - 3$

Упростим выражение под корнем. Сначала вынесем знак минус из-под корня нечетной степени:

$\sqrt[5]{-25\sqrt{5}} = -\sqrt[5]{25\sqrt{5}}$

Теперь преобразуем подкоренное выражение, используя свойства степеней. $25 = 5^2$ и $\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$.

$25\sqrt{5} = 5^2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5^{2+\frac{1}{2}} = 5^{\frac{5}{2}}$

Подставим это обратно в выражение для корня:

$-\sqrt[5]{25\sqrt{5}} = -\sqrt[5]{5^{\frac{5}{2}}} = -(5^{\frac{5}{2}})^{\frac{1}{5}} = -5^{\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{5}} = -5^{\frac{1}{2}} = -\sqrt{5}$

Теперь вычислим значение функции:

$h(-25\sqrt{5}) = -\sqrt{5} - 3$

Ответ: $-\sqrt{5} - 3$.