Номер 453, страница 227 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

453. Найдите промежутки возрастания и убывания, точки минимума и максимума функции $f(x)=\frac{1}{3}x^3-2.5x^2-14x-9$.

Для нахождения промежутков возрастания и убывания, а также точек минимума и максимума функции $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2,5x^2 - 14x - 9$, необходимо исследовать ее с помощью производной.

Область определения данной функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как это полиномиальная функция.

Промежутки возрастания и убывания

1. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 - 2,5x^2 - 14x - 9)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^{3-1} - 2,5 \cdot 2x^{2-1} - 14 = x^2 - 5x - 14$.

2. Найдем критические точки функции, решив уравнение $f'(x) = 0$. Критические точки — это точки, в которых производная равна нулю или не существует. В данном случае производная определена на всей числовой оси.

$x^2 - 5x - 14 = 0$.

Это квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{81}}{2} = \frac{5 - 9}{2} = -2$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{81}}{2} = \frac{5 + 9}{2} = 7$.

3. Критические точки $x = -2$ и $x = 7$ разбивают область определения на три интервала: $(-\infty, -2)$, $(-2, 7)$ и $(7, \infty)$. Определим знак производной на каждом из этих интервалов, чтобы найти промежутки монотонности функции.

• На интервале $(-\infty, -2)$: выберем тестовую точку, например $x = -3$.
$f'(-3) = (-3)^2 - 5(-3) - 14 = 9 + 15 - 14 = 10 > 0$.
Так как производная положительна, функция $f(x)$ на этом промежутке возрастает.

• На интервале $(-2, 7)$: выберем тестовую точку, например $x = 0$.
$f'(0) = 0^2 - 5(0) - 14 = -14 < 0$.
Так как производная отрицательна, функция $f(x)$ на этом промежутке убывает.

• На интервале $(7, \infty)$: выберем тестовую точку, например $x = 10$.
$f'(10) = 10^2 - 5(10) - 14 = 100 - 50 - 14 = 36 > 0$.
Так как производная положительна, функция $f(x)$ на этом промежутке возрастает.

Следовательно, функция возрастает на промежутках, где $f'(x) \ge 0$, и убывает, где $f'(x) \le 0$.

Ответ: Промежутки возрастания: $(-\infty, -2]$ и $[7, \infty)$; промежуток убывания: $[-2, 7]$.

Точки минимума и максимума

Точки экстремума функции находятся в критических точках, где производная меняет свой знак.

• В точке $x = -2$ производная $f'(x)$ меняет знак с «+» на «−». Это означает, что $x = -2$ является точкой локального максимума.

• В точке $x = 7$ производная $f'(x)$ меняет знак с «−» на «+». Это означает, что $x = 7$ является точкой локального минимума.

Ответ: Точка максимума $x_{max} = -2$, точка минимума $x_{min} = 7$.