Номер 455, страница 227 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

455. Найдите наименьшее значение функции $y = x^2 (x^2 + x)$ на отрезке $[-0,5; 1]$.

Для того чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, необходимо найти значения функции на концах этого отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, а затем выбрать наименьшее из них.

Исходная функция: $y = x^2(x^2 + x)$. Для удобства дальнейших вычислений раскроем скобки:

$y = x^4 + x^3$

Теперь найдем производную функции для определения критических точек:

$y' = (x^4 + x^3)' = 4x^3 + 3x^2$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:

$4x^3 + 3x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(4x + 3) = 0$

Это уравнение имеет два корня:

$x_1 = 0$

$x_2 = -3/4 = -0,75$

Проверим, какие из этих точек принадлежат заданному отрезку $[-0,5; 1]$.

Точка $x_1 = 0$ принадлежит отрезку $[-0,5; 1]$.

Точка $x_2 = -0,75$ не принадлежит отрезку $[-0,5; 1]$, так как $-0,75 < -0,5$.

Следовательно, нам нужно вычислить значения функции в точке $x=0$ и на концах отрезка: $x = -0,5$ и $x = 1$.

1. Значение функции на левом конце отрезка, при $x = -0,5$:

$y(-0,5) = (-0,5)^4 + (-0,5)^3 = 0,0625 - 0,125 = -0,0625$

2. Значение функции в критической точке, при $x = 0$:

$y(0) = 0^4 + 0^3 = 0$

3. Значение функции на правом конце отрезка, при $x = 1$:

$y(1) = 1^4 + 1^3 = 1 + 1 = 2$

Сравниваем полученные значения: $-0,0625$; $0$; $2$.

Наименьшее из этих значений равно $-0,0625$. В виде обыкновенной дроби это $-1/16$.

Ответ: $-0,0625$.