Номер 461, страница 228 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

461. Найдите множество значений функции:

a) $f(x) = \sqrt[8]{x} + 3;$

б) $f(x) = \sqrt[6]{x-5} - 7.$

а)

Дана функция $f(x) = \sqrt[8]{x} + 3$.

Чтобы найти множество значений функции, необходимо определить все возможные значения, которые может принимать $f(x)$. Функция содержит выражение $\sqrt[8]{x}$, которое является корнем четной (8-й) степени. По определению, арифметический корень четной степени из неотрицательного числа всегда является неотрицательным. Область определения данной функции задается условием $x \ge 0$.

Следовательно, для любого $x$ из области определения выполняется неравенство: $$ \sqrt[8]{x} \ge 0 $$

Чтобы найти множество значений для всей функции $f(x)$, прибавим число 3 к обеим частям этого неравенства: $$ \sqrt[8]{x} + 3 \ge 0 + 3 $$ $$ f(x) \ge 3 $$

Это неравенство показывает, что наименьшее значение функции равно 3. Это значение достигается при $x=0$, так как $f(0) = \sqrt[8]{0} + 3 = 3$. Поскольку при неограниченном увеличении $x$ значение $\sqrt[8]{x}$ также неограниченно возрастает, функция $f(x)$ может принимать любое значение, большее или равное 3.

Таким образом, множество значений функции — это числовой промежуток $[3, +\infty)$.

Ответ: $[3, +\infty)$.

б)

Дана функция $f(x) = \sqrt[6]{x-5} - 7$.

Подкоренное выражение в корне четной (6-й) степени должно быть неотрицательным. Это определяет область определения функции: $$ x - 5 \ge 0 \implies x \ge 5 $$

Поскольку значение арифметического корня четной степени всегда неотрицательно, мы можем записать: $$ \sqrt[6]{x-5} \ge 0 $$

Теперь, чтобы получить выражение для $f(x)$, вычтем 7 из обеих частей неравенства: $$ \sqrt[6]{x-5} - 7 \ge 0 - 7 $$ $$ f(x) \ge -7 $$

Наименьшее значение, равное -7, функция принимает при $x=5$, так как $f(5) = \sqrt[6]{5-5} - 7 = 0 - 7 = -7$. При увеличении $x$ (начиная от 5) значение $f(x)$ возрастает от -7 до $+\infty$.

Следовательно, множество значений данной функции — это числовой промежуток $[-7, +\infty)$.

Ответ: $[-7, +\infty)$.