Номер 463, страница 228 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

463. Постройте график функции:

a) $f(x) = \sqrt[3]{x}$;

б) $f(x) = \sqrt[3]{x + 1}$;

в) $f(x) = \sqrt[3]{x - 1}$;

г) $f(x) = \sqrt[3]{x - 2} + 3$.

а) $f(x) = \sqrt[3]{x}$

Для построения графика функции $y = \sqrt[3]{x}$ составим таблицу значений. Удобно выбирать значения $x$, которые являются кубами целых чисел, чтобы легко извлекать кубический корень.

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
Область значений функции $E(f) = (-\infty; +\infty)$.
Функция является нечетной, так как $f(-x) = \sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x} = -f(x)$, следовательно, ее график симметричен относительно начала координат (0, 0).

Основные точки для построения:

• При $x = -8$, $y = \sqrt[3]{-8} = -2$. Точка (-8, -2).
• При $x = -1$, $y = \sqrt[3]{-1} = -1$. Точка (-1, -1).
• При $x = 0$, $y = \sqrt[3]{0} = 0$. Точка (0, 0).
• При $x = 1$, $y = \sqrt[3]{1} = 1$. Точка (1, 1).
• При $x = 8$, $y = \sqrt[3]{8} = 2$. Точка (8, 2).

Соединив эти точки плавной линией, получаем график функции. График проходит через начало координат, монотонно возрастает на всей области определения.
Ответ: График функции $y = \sqrt[3]{x}$ — это кривая, симметричная относительно начала координат и проходящая через точки (-8, -2), (-1, -1), (0, 0), (1, 1), (8, 2).

б) $f(x) = \sqrt[3]{x} + 1$

График этой функции можно получить из графика функции $y = \sqrt[3]{x}$ с помощью параллельного переноса (сдвига) вдоль оси Oy на 1 единицу вверх.

Возьмем ключевые точки графика $y = \sqrt[3]{x}$ и сместим их на 1 вверх (увеличим координату $y$ на 1):

• (-8, -2) $\rightarrow$ (-8, -2 + 1) = (-8, -1)
• (-1, -1) $\rightarrow$ (-1, -1 + 1) = (-1, 0)
• (0, 0) $\rightarrow$ (0, 0 + 1) = (0, 1)
• (1, 1) $\rightarrow$ (1, 1 + 1) = (1, 2)
• (8, 2) $\rightarrow$ (8, 2 + 1) = (8, 3)

Соединяем новые точки плавной кривой, форма которой повторяет форму графика $y = \sqrt[3]{x}$.
Ответ: График функции $f(x) = \sqrt[3]{x} + 1$ получается путем сдвига графика функции $y = \sqrt[3]{x}$ на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.

в) $f(x) = \sqrt[3]{x} - 1$

График этой функции можно получить из графика функции $y = \sqrt[3]{x}$ с помощью параллельного переноса (сдвига) вдоль оси Oy на 1 единицу вниз.

Возьмем ключевые точки графика $y = \sqrt[3]{x}$ и сместим их на 1 вниз (уменьшим координату $y$ на 1):

• (-8, -2) $\rightarrow$ (-8, -2 - 1) = (-8, -3)
• (-1, -1) $\rightarrow$ (-1, -1 - 1) = (-1, -2)
• (0, 0) $\rightarrow$ (0, 0 - 1) = (0, -1)
• (1, 1) $\rightarrow$ (1, 1 - 1) = (1, 0)
• (8, 2) $\rightarrow$ (8, 2 - 1) = (8, 1)

Соединяем новые точки плавной кривой, форма которой повторяет форму графика $y = \sqrt[3]{x}$.
Ответ: График функции $f(x) = \sqrt[3]{x} - 1$ получается путем сдвига графика функции $y = \sqrt[3]{x}$ на 1 единицу вниз вдоль оси Oy.

г) $f(x) = \sqrt[3]{x-2} + 3$

График этой функции можно получить из графика функции $y = \sqrt[3]{x}$ с помощью двух параллельных переносов:

1. Сдвиг на 2 единицы вправо вдоль оси Ox (из-за $x-2$).
2. Сдвиг на 3 единицы вверх вдоль оси Oy (из-за $+3$).

Центр симметрии графика, который для $y = \sqrt[3]{x}$ находился в точке (0, 0), смещается в точку (2, 3).

Возьмем ключевые точки графика $y = \sqrt[3]{x}$ и применим к ним оба сдвига (увеличим $x$ на 2, а $y$ на 3):

• (-8, -2) $\rightarrow$ (-8 + 2, -2 + 3) = (-6, 1)
• (-1, -1) $\rightarrow$ (-1 + 2, -1 + 3) = (1, 2)
• (0, 0) $\rightarrow$ (0 + 2, 0 + 3) = (2, 3)
• (1, 1) $\rightarrow$ (1 + 2, 1 + 3) = (3, 4)
• (8, 2) $\rightarrow$ (8 + 2, 2 + 3) = (10, 5)

Соединяем полученные точки плавной кривой.
Ответ: График функции $f(x) = \sqrt[3]{x-2} + 3$ получается путем сдвига графика функции $y = \sqrt[3]{x}$ на 2 единицы вправо вдоль оси Ox и на 3 единицы вверх вдоль оси Oy.