Номер 459, страница 227 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

459. Для функции $f(x) = \sqrt[3]{x}$ найдите значение аргумента, при котором $f(x) = -1$; $f(x) = 2$; $f(x) = \frac{1}{5}$; $f(x) = -\sqrt[3]{2}$.

Для того чтобы найти значение аргумента $x$, при котором функция $f(x) = \sqrt[3]{x}$ принимает заданное значение, необходимо решить уравнение $f(x) = y$ относительно $x$. Общий подход для всех случаев заключается в следующем:

1. Приравнять выражение для функции к заданному значению: $\sqrt[3]{x} = y$.

2. Чтобы избавиться от кубического корня, возвести обе части уравнения в третью степень: $(\sqrt[3]{x})^3 = y^3$.

3. Упростить левую часть: $x = y^3$.

Применим этот подход для каждого из заданных значений функции.

f(x) = -1

Подставляем значение функции в уравнение:

$\sqrt[3]{x} = -1$

Возводим обе части уравнения в третью степень, чтобы найти $x$:

$(\sqrt[3]{x})^3 = (-1)^3$

$x = -1$

Проверка: $f(-1) = \sqrt[3]{-1} = -1$. Верно.

Ответ: -1

f(x) = 2

Подставляем значение функции в уравнение:

$\sqrt[3]{x} = 2$

Возводим обе части уравнения в третью степень:

$(\sqrt[3]{x})^3 = 2^3$

$x = 8$

Проверка: $f(8) = \sqrt[3]{8} = 2$. Верно.

Ответ: 8

f(x) = \frac{1}{5}

Подставляем значение функции в уравнение:

$\sqrt[3]{x} = \frac{1}{5}$

Возводим обе части уравнения в третью степень:

$(\sqrt[3]{x})^3 = \left(\frac{1}{5}\right)^3$

$x = \frac{1^3}{5^3} = \frac{1}{125}$

Проверка: $f(\frac{1}{125}) = \sqrt[3]{\frac{1}{125}} = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{125}} = \frac{1}{5}$. Верно.

Ответ: $\frac{1}{125}$

f(x) = -\sqrt[3]{2}

Подставляем значение функции в уравнение:

$\sqrt[3]{x} = -\sqrt[3]{2}$

Возводим обе части уравнения в третью степень:

$(\sqrt[3]{x})^3 = (-\sqrt[3]{2})^3$

$x = -(\sqrt[3]{2})^3$

$x = -2$

Проверка: $f(-2) = \sqrt[3]{-2} = -\sqrt[3]{2}$. Верно.

Ответ: -2