Номер 454, страница 227 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

454. Найдите наименьшее целое решение неравенства $\frac{f'(x)}{g'(x)} \ge 0$, где $f(x) = 16x - 2x^2$, $g(x) = 24x - 2x^3$.

Для решения задачи требуется найти наименьшее целое решение неравенства $\frac{f'(x)}{g'(x)} \ge 0$. Начнем с нахождения производных функций $f(x)$ и $g(x)$.

1. Найдем производную функции $f(x) = 16x - 2x^2$.

$f'(x) = (16x - 2x^2)' = 16 - 2 \cdot 2x = 16 - 4x$.

2. Найдем производную функции $g(x) = 24x - 2x^3$.

$g'(x) = (24x - 2x^3)' = 24 - 2 \cdot 3x^2 = 24 - 6x^2$.

3. Теперь подставим найденные производные в исходное неравенство:

$\frac{16 - 4x}{24 - 6x^2} \ge 0$.

Для решения этого рационального неравенства применим метод интервалов. Для этого найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $16 - 4x = 0 \Rightarrow 4x = 16 \Rightarrow x = 4$.

Нули знаменателя: $24 - 6x^2 = 0 \Rightarrow 6x^2 = 24 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = -2$ или $x = 2$.

Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому точки $x = -2$ и $x = 2$ будут "выколотыми" на числовой оси. Точка $x = 4$ является решением, так как неравенство нестрогое, и она обращает числитель в ноль.

Нанесем точки $-2$, $2$, $4$ на числовую ось и определим знак выражения на каждом из полученных интервалов.

Рассмотрим интервал $(-\infty; -2)$. Возьмем пробную точку $x = -3$.
$\frac{16 - 4(-3)}{24 - 6(-3)^2} = \frac{16 + 12}{24 - 54} = \frac{28}{-30} < 0$.

Рассмотрим интервал $(-2; 2)$. Возьмем пробную точку $x = 0$.
$\frac{16 - 4(0)}{24 - 6(0)^2} = \frac{16}{24} > 0$.

Рассмотрим интервал $(2; 4)$. Возьмем пробную точку $x = 3$.
$\frac{16 - 4(3)}{24 - 6(3)^2} = \frac{16 - 12}{24 - 54} = \frac{4}{-30} < 0$.

Рассмотрим интервал $(4; \infty)$. Возьмем пробную точку $x = 5$.
$\frac{16 - 4(5)}{24 - 6(5)^2} = \frac{16 - 20}{24 - 150} = \frac{-4}{-126} > 0$.

Неравенство выполняется на тех промежутках, где выражение положительно или равно нулю. Таким образом, решением неравенства является объединение промежутков: $x \in (-2; 2) \cup [4; \infty)$.

Теперь найдем наименьшее целое решение. Целые числа, которые входят в множество решений, это $-1, 0, 1$ из интервала $(-2; 2)$ и $4, 5, 6, ...$ из полуинтервала $[4; \infty)$.

Наименьшее из всех этих целых чисел — это $-1$.

Ответ: -1