Номер 457, страница 227 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

457. Среди рисунков 62, а—г выберите тот, на котором изображен график функции $f(x) = \sqrt[4]{x}$.

a) б) в) г) Рис. 62

Для того чтобы определить, какой из рисунков соответствует графику функции $f(x) = \sqrt[4]{x}$, проанализируем основные свойства этой функции.

1. Область определения. Функция вида $y = \sqrt[2k]{x}$, где $k$ — натуральное число, определена для всех неотрицательных значений аргумента. В нашем случае $f(x) = \sqrt[4]{x}$, поэтому область определения $D(f)$ — это множество всех $x$ таких, что $x \ge 0$. Это означает, что график функции должен полностью располагаться в правой полуплоскости (справа от оси $Oy$) и на самой оси.
2. Область значений. Арифметический корень четной степени из неотрицательного числа всегда является неотрицательным числом. Следовательно, область значений функции $E(f)$ — это множество всех $y$ таких, что $y \ge 0$. Это означает, что график функции должен полностью располагаться в верхней полуплоскости (выше оси $Ox$) и на самой оси.
3. Ключевые точки. Вычислим значения функции в нескольких характерных точках:
   • При $x = 0$, имеем $f(0) = \sqrt[4]{0} = 0$. Значит, график проходит через начало координат — точку $(0; 0)$.
   • При $x = 1$, имеем $f(1) = \sqrt[4]{1} = 1$. Значит, график проходит через точку $(1; 1)$.

Теперь сопоставим эти свойства с предложенными графиками:

а) График этой функции определен для всех действительных чисел $x$, включая отрицательные. Это противоречит области определения $x \ge 0$. Следовательно, это неверный вариант.

б) График этой функции определен для $x > 0$ и не проходит через начало координат. Для этого графика ось $Oy$ является вертикальной асимптотой, что противоречит свойству $f(0)=0$. Следовательно, это неверный вариант.

в) Область определения этого графика — $x \ge 0$, а область значений — $y \ge 0$. График проходит через точки $(0; 0)$ и $(1; 1)$. Функция является возрастающей, причем ее рост замедляется, что характерно для степенной функции $y=x^{1/4}$. Этот вариант полностью соответствует всем свойствам функции $f(x) = \sqrt[4]{x}$.

г) График этой функции определен для всех действительных чисел $x$, что противоречит области определения $x \ge 0$. (Данный график является графиком функции нечетного корня, например $y=\sqrt[3]{x}$). Следовательно, это неверный вариант.

Таким образом, единственным верным является график, изображенный на рисунке в).

Ответ: в).