Номер 462, страница 228 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

462. Определите, какие из данных функций являются четными, а какие — нечетными:

а) $f(x) = \sqrt[10]{x};$

б) $f(x) = \sqrt[9]{x};$

в) $f(x) = \sqrt[8]{|x|} + 7;$

г) $f(x) = \sqrt[13]{|x|} - 3.$

Каким свойством обладает график нечетной функции?

Для определения четности функции необходимо проверить ее область определения на симметричность относительно нуля и затем проверить выполнение одного из условий:

• Функция $f(x)$ является четной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.
• Функция $f(x)$ является нечетной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Если область определения несимметрична или ни одно из равенств не выполняется, функция является ни четной, ни нечетной.

а) $f(x) = \sqrt[10]{x}$

Поскольку показатель корня (10) является четным числом, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. Область определения функции $D(f) = [0; +\infty)$. Эта область определения не является симметричной относительно начала координат (например, точка $x=1$ принадлежит области, а точка $x=-1$ — нет). Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.
Ответ: ни четная, ни нечетная.

б) $f(x) = \sqrt[9]{x}$

Поскольку показатель корня (9) является нечетным числом, корень определен для любого действительного числа. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно начала координат. Найдем $f(-x)$: $f(-x) = \sqrt[9]{-x} = -\sqrt[9]{x} = -f(x)$. Так как выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.
Ответ: нечетная.

в) $f(x) = \sqrt[8]{|x|} + 7$

Подкоренное выражение $|x|$ всегда неотрицательно, поэтому корень четной степени (8) определен для любого действительного $x$. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно начала координат. Найдем $f(-x)$: $f(-x) = \sqrt[8]{|-x|} + 7$. Используя свойство модуля $|-x| = |x|$, получаем: $f(-x) = \sqrt[8]{|x|} + 7 = f(x)$. Так как выполняется равенство $f(-x) = f(x)$, функция является четной.
Ответ: четная.

г) $f(x) = \sqrt[13]{|x|} - 3$

Поскольку показатель корня (13) является нечетным числом, корень определен для любого действительного числа. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно начала координат. Найдем $f(-x)$: $f(-x) = \sqrt[13]{|-x|} - 3$. Используя свойство модуля $|-x| = |x|$, получаем: $f(-x) = \sqrt[13]{|x|} - 3 = f(x)$. Так как выполняется равенство $f(-x) = f(x)$, функция является четной.
Ответ: четная.

Каким свойством обладает график нечетной функции?

График нечетной функции симметричен относительно начала координат (точки $O(0;0)$). Это значит, что если точка $(a; b)$ принадлежит графику функции, то и точка $(-a; -b)$ также принадлежит этому графику.
Ответ: График нечетной функции симметричен относительно начала координат.