Номер 465, страница 228 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

465. Найдите область определения функции:

а) $y = (x - 9)^{0.3}$;

б) $y = (2x + 7)^{-\frac{5}{7}}$;

В) $y = (x^2 + x - 6)^{\sqrt{5}}$;

Г) $y = \left(\frac{x-1}{x}\right)^{-\sqrt{10}}$.

а) $y = (x-9)^{0,3}$

Область определения степенной функции $y=x^a$ зависит от показателя $a$. В данном случае показатель степени $a = 0,3 = \frac{3}{10}$. Это положительное рациональное число, знаменатель которого (10) является четным числом. Такая функция определена только для неотрицательных значений основания. Следовательно, для функции $y = (x-9)^{0,3}$ необходимо, чтобы основание степени было больше или равно нулю:

$x - 9 \ge 0$

Решая это простое неравенство, получаем:

$x \ge 9$

Таким образом, область определения функции — это все числа, большие или равные 9.
Ответ: $D(y) = [9; +\infty)$.

б) $y = (2x+7)^{-\frac{5}{7}}$

Показатель степени $a = -\frac{5}{7}$. Это отрицательное рациональное число. Так как показатель отрицательный, основание степени не может быть равно нулю. Знаменатель дроби в показателе (7) — нечетное число, поэтому корень нечетной степени можно извлекать из числа любого знака. Следовательно, единственное ограничение для основания степени — оно не должно быть равно нулю:

$2x + 7 \neq 0$

Решаем уравнение:

$2x \neq -7$

$x \neq -3,5$

Область определения функции — это все действительные числа, кроме $-3,5$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; -3,5) \cup (-3,5; +\infty)$.

в) $y = (x^2+x-6)^{\sqrt{5}}$

Показатель степени $a = \sqrt{5}$ является иррациональным числом. Степенная функция с иррациональным показателем по определению задана только для положительных значений основания. В некоторых учебных программах для положительного иррационального показателя допускается и нулевое основание ($f(x) \ge 0$), но более строгим и общепринятым является требование строго положительного основания. Будем придерживаться строгого варианта. Следовательно, основание степени должно быть строго больше нуля:

$x^2 + x - 6 > 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + x - 6 = 0$. Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$. Графиком квадратичной функции $f(x)=x^2+x-6$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Значит, функция принимает положительные значения вне интервала между корнями. Неравенство выполняется при $x < -3$ или $x > 2$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; -3) \cup (2; +\infty)$.

г) $y = \left(\frac{x-1}{x}\right)^{-\sqrt{10}}$

Показатель степени $a = -\sqrt{10}$ является отрицательным иррациональным числом. Как и в предыдущем пункте, для иррационального показателя основание степени должно быть строго положительным. Отрицательный показатель означает, что $y = \frac{1}{\left(\frac{x-1}{x}\right)^{\sqrt{10}}}$. Требование, чтобы основание было строго положительным, автоматически гарантирует, что знаменатель не обратится в ноль. Итак, необходимо решить неравенство:

$\frac{x-1}{x} > 0$

Решим это рациональное неравенство методом интервалов. Находим точки, в которых числитель или знаменатель равны нулю: $x-1=0 \implies x=1$ и $x=0$. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$. Определим знак дроби на каждом интервале: - на интервале $(-\infty; 0)$ (например, при $x=-1$) дробь $\frac{-2}{-1}=2$ положительна; - на интервале $(0; 1)$ (например, при $x=0.5$) дробь $\frac{-0.5}{0.5}=-1$ отрицательна; - на интервале $(1; +\infty)$ (например, при $x=2$) дробь $\frac{1}{2}$ положительна. Нас интересуют интервалы, где выражение положительно.
Ответ: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (1; +\infty)$.