Номер 466, страница 229 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

466. Среди рисунков 63, а—г выберите тот, на котором изображен график функции $y = 2^x$.

а) б) в) г) Рис. 63

Чтобы выбрать правильный график для функции $y = 2^x$, необходимо проанализировать её основные свойства и найти соответствующие им характеристики на предложенных рисунках.

Основные свойства функции $y = 2^x$:

• Тип функции: Это показательная функция с основанием $a = 2$.
• Возрастание/убывание: Так как основание $a = 2 > 1$, функция является строго возрастающей на всей своей области определения.
• Область определения: Функция определена для любых действительных значений $x$, то есть $x \in (-\infty, +\infty)$.
• Область значений: Значения функции всегда положительны, $y \in (0, +\infty)$. График целиком расположен выше оси абсцисс (оси $Ox$).
• Ключевые точки:
  • При $x=0$, $y = 2^0 = 1$. График проходит через точку $(0, 1)$.
  • При $x=1$, $y = 2^1 = 2$. График проходит через точку $(1, 2)$.
  • При $x=2$, $y = 2^2 = 4$. График проходит через точку $(2, 4)$.
  • При $x=-1$, $y = 2^{-1} = \frac{1}{2}$. График проходит через точку $(-1, \frac{1}{2})$.
• Асимптоты: При $x \to -\infty$, $y \to 0$. Ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой графика.

Теперь рассмотрим каждый из предложенных графиков:

а) На этом графике изображена функция, область определения которой $x \ge 0$. Она проходит через точку $(0, 0)$. Это противоречит свойствам функции $y=2^x$. Данный график больше похож на график функции квадратного корня.

б) Этот график представляет собой параболу, симметричную относительно оси $Oy$, с вершиной в точке $(0, 0)$. Это график квадратичной функции вида $y = kx^2$ (в данном случае $y=x^2$). Он не соответствует графику показательной функции.

в) Здесь изображен график показательной функции, которая проходит через точку $(0, 1)$, но она является убывающей. Это свойственно для показательных функций с основанием $0 < a < 1$, например, для функции $y = (\frac{1}{2})^x = 2^{-x}$. Поскольку функция $y=2^x$ возрастающая, этот вариант не подходит.

г) Этот график демонстрирует все свойства функции $y=2^x$:

• Функция возрастает на всей области определения.
• График расположен выше оси $Ox$.
• График проходит через контрольные точки: $(0, 1)$, $(1, 2)$, $(2, 4)$.
• При $x \to -\infty$, график приближается к оси $Ox$.

Таким образом, этот график полностью соответствует функции $y = 2^x$.

Ответ: г.