Номер 7, страница 235 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

7. Найдите среднее арифметическое корней уравнения $(x^2 - 5x) \cdot \sqrt{x - 3} = 0$.

a) $2\frac{2}{3}$;

б) $-1$;

в) $0$;

г) $3$;

д) $4$.

Данное уравнение представляет собой произведение двух множителей, равное нулю: $(x^2 - 5x) \cdot \sqrt{x-3} = 0$.

1. Нахождение Области Допустимых Значений (ОДЗ)
Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. Поэтому:
$x - 3 \ge 0$
$x \ge 3$
Все корни уравнения должны удовлетворять этому условию.

2. Решение уравнения
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом имеют смысл (т.е. входят в ОДЗ).

Приравняем к нулю каждый множитель:

а) $x^2 - 5x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x - 5) = 0$
Это дает нам два потенциальных корня:
$x_1 = 0$
$x_2 = 5$

б) $\sqrt{x-3} = 0$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$x - 3 = 0$
$x_3 = 3$

3. Проверка корней на соответствие ОДЗ
Теперь проверим, какие из найденных значений $x_1, x_2, x_3$ удовлетворяют условию $x \ge 3$.
- $x_1 = 0$: не удовлетворяет условию $0 \ge 3$, следовательно, это посторонний корень.
- $x_2 = 5$: удовлетворяет условию $5 \ge 3$, следовательно, это корень уравнения.
- $x_3 = 3$: удовлетворяет условию $3 \ge 3$, следовательно, это корень уравнения.

Таким образом, уравнение имеет два корня: 3 и 5.

4. Нахождение среднего арифметического корней
Среднее арифметическое — это сумма всех чисел, деленная на их количество.
Среднее арифметическое корней = $\frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

Ответ: 4