Номер 14, страница 236 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

14. Найдите сумму корней (корень, если он единственный) уравнения

$\sqrt{5x^2 - 20x + 21} + \sqrt{3x^2 - 12x + 28} = 8x - 2x^2 - 3.$

Запишем исходное уравнение:

$ \sqrt{5x^2 - 20x + 21} + \sqrt{3x^2 - 12x + 28} = 8x - 2x^2 - 3 $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:

1) $5x^2 - 20x + 21 \ge 0$.
Найдем дискриминант этого квадратного трехчлена: $D = (-20)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 21 = 400 - 420 = -20$.
Так как старший коэффициент $5 > 0$ и дискриминант $D < 0$, парабола $y = 5x^2 - 20x + 21$ полностью лежит выше оси Ox, то есть $5x^2 - 20x + 21 > 0$ для любых действительных $x$.

2) $3x^2 - 12x + 28 \ge 0$.
Найдем дискриминант: $D = (-12)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 28 = 144 - 336 = -192$.
Так как старший коэффициент $3 > 0$ и дискриминант $D < 0$, парабола $y = 3x^2 - 12x + 28$ также полностью лежит выше оси Ox, то есть $3x^2 - 12x + 28 > 0$ для любых действительных $x$.

Таким образом, ОДЗ уравнения — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.

Преобразуем выражения в уравнении, выделив полные квадраты.

Для первого подкоренного выражения:
$5x^2 - 20x + 21 = 5(x^2 - 4x) + 21 = 5(x^2 - 4x + 4 - 4) + 21 = 5(x-2)^2 - 20 + 21 = 5(x-2)^2 + 1$.

Для второго подкоренного выражения:
$3x^2 - 12x + 28 = 3(x^2 - 4x) + 28 = 3(x^2 - 4x + 4 - 4) + 28 = 3(x-2)^2 - 12 + 28 = 3(x-2)^2 + 16$.

Для правой части уравнения:
$8x - 2x^2 - 3 = -2(x^2 - 4x) - 3 = -2(x^2 - 4x + 4 - 4) - 3 = -2(x-2)^2 + 8 - 3 = -2(x-2)^2 + 5$.

Подставим преобразованные выражения обратно в уравнение:

$ \sqrt{5(x-2)^2 + 1} + \sqrt{3(x-2)^2 + 16} = -2(x-2)^2 + 5 $

Сделаем замену переменной. Пусть $y = (x-2)^2$. Так как $y$ является квадратом выражения, $y \ge 0$.

Уравнение принимает вид:

$ \sqrt{5y + 1} + \sqrt{3y + 16} = -2y + 5 $

Левая часть уравнения, как сумма арифметических корней, неотрицательна. Следовательно, правая часть также должна быть неотрицательной:

$-2y + 5 \ge 0 \implies 2y \le 5 \implies y \le 2.5$.

Таким образом, искомое значение $y$ должно лежать в промежутке $[0, 2.5]$.

Рассмотрим функции в левой и правой частях уравнения на отрезке $[0, 2.5]$.
Функция $f(y) = \sqrt{5y + 1} + \sqrt{3y + 16}$ является суммой двух возрастающих функций, поэтому она строго возрастает на своей области определения, включая отрезок $[0, 2.5]$.
Функция $g(y) = -2y + 5$ является линейной функцией с отрицательным угловым коэффициентом, поэтому она строго убывает.

Уравнение вида $f(y) = g(y)$, где одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, может иметь не более одного корня. Найдем этот корень подбором, проверив целые значения из отрезка $[0, 2.5]$.

Проверим $y=0$:
Левая часть: $f(0) = \sqrt{5(0) + 1} + \sqrt{3(0) + 16} = \sqrt{1} + \sqrt{16} = 1 + 4 = 5$.
Правая часть: $g(0) = -2(0) + 5 = 5$.
Так как $f(0) = g(0)$, значение $y=0$ является корнем уравнения.

Поскольку мы доказали, что уравнение может иметь не более одного корня, $y=0$ — это единственное решение.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, используя обратную замену $y = (x-2)^2$:

$(x-2)^2 = 0$

$x-2 = 0$

$x=2$

Исходное уравнение имеет единственный корень $x=2$. По условию задачи, если корень единственный, нужно найти его значение, что в данном случае эквивалентно сумме корней.

Сумма корней уравнения равна 2.

Ответ: 2