Номер 8, страница 235 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

8. Найдите число корней уравнения

$\sqrt{x^4 - 2x - 5} = 1 - x$

a) 1;

б) 2;

в) 3;

г) 4;

д) 0.

Для решения иррационального уравнения $\sqrt{x^4 - 2x - 5} = 1 - x$ необходимо определить область допустимых значений (ОДЗ).

Уравнение вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе:$\begin{cases}f(x) = (g(x))^2 \\g(x) \ge 0\end{cases}$

Применяя это к нашему уравнению, получаем систему:$\begin{cases}x^4 - 2x - 5 = (1 - x)^2 \\1 - x \ge 0\end{cases}$

Сначала решим неравенство:$1 - x \ge 0 \implies x \le 1$. Это важное условие, которому должны удовлетворять все корни уравнения.

Теперь решим уравнение:$x^4 - 2x - 5 = (1 - x)^2$

Раскроем скобки в правой части:$x^4 - 2x - 5 = 1 - 2x + x^2$

Перенесём все слагаемые в левую часть и приведём подобные:$x^4 - x^2 - 2x + 2x - 5 - 1 = 0$$x^4 - x^2 - 6 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной $t = x^2$. Поскольку $x^2$ не может быть отрицательным, должно выполняться условие $t \ge 0$.

$t^2 - t - 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней равна 1, а их произведение равно -6. Корни:$t_1 = 3$ и $t_2 = -2$.

Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он является посторонним.

Рассмотрим единственный подходящий корень $t_1 = 3$. Сделаем обратную замену:$x^2 = 3$

Из этого уравнения находим два потенциальных корня для исходного уравнения:$x_1 = \sqrt{3}$ и $x_2 = -\sqrt{3}$.

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли эти корни условию $x \le 1$.

1. Проверка корня $x_1 = \sqrt{3}$:
Значение $\sqrt{3} \approx 1.732$. Неравенство $\sqrt{3} \le 1$ неверно. Следовательно, $x_1 = \sqrt{3}$ является посторонним корнем.

2. Проверка корня $x_2 = -\sqrt{3}$:
Значение $-\sqrt{3} \approx -1.732$. Неравенство $-\sqrt{3} \le 1$ верно. Следовательно, $x_2 = -\sqrt{3}$ является корнем уравнения.

Таким образом, исходное уравнение имеет только один корень.

Ответ: 1.