Номер 11, страница 235 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

11. Найдите число корней уравнения

$\sqrt{x^2 + 3x - 4} + \sqrt{x^3 + 12x^2 - 11x - 2} = 0.$

Рассмотрим данное уравнение: $$ \sqrt{x^2 + 3x - 4} + \sqrt[3]{x^3 + 12x^2 - 11x - 2} = 0 $$

1. Область допустимых значений (ОДЗ)
Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $$ x^2 + 3x - 4 \geq 0 $$ Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 3x - 4 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -4$. Так как ветви параболы $y = x^2 + 3x - 4$ направлены вверх, неравенство выполняется при $x \leq -4$ или $x \geq 1$. Таким образом, ОДЗ уравнения: $x \in (-\infty, -4] \cup [1, +\infty)$. Выражение под знаком кубического корня определено для любых действительных чисел $x$, поэтому оно не накладывает дополнительных ограничений.

2. Анализ и решение уравнения
Перепишем уравнение в виде: $$ \sqrt{x^2 + 3x - 4} = -\sqrt[3]{x^3 + 12x^2 - 11x - 2} $$ Левая часть уравнения, $\sqrt{x^2 + 3x - 4}$, по определению арифметического квадратного корня, неотрицательна ($\geq 0$). Следовательно, и правая часть должна быть неотрицательной: $$ -\sqrt[3]{x^3 + 12x^2 - 11x - 2} \geq 0 $$ Это равносильно неравенству: $$ \sqrt[3]{x^3 + 12x^2 - 11x - 2} \leq 0 $$ Возведя обе части в нечетную (третью) степень, получаем равносильное неравенство: $$ x^3 + 12x^2 - 11x - 2 \leq 0 $$ Обозначим многочлен $g(x) = x^3 + 12x^2 - 11x - 2$. Найдем его корни. Проверкой делителей свободного члена (-2), а именно $\pm1, \pm2$, находим, что $x=1$ является корнем: $$ g(1) = 1^3 + 12(1)^2 - 11(1) - 2 = 1 + 12 - 11 - 2 = 0 $$ Разделим многочлен $g(x)$ на $(x-1)$ (например, по схеме Горнера или "уголком") и получим: $$ g(x) = (x-1)(x^2 + 13x + 2) $$ Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 13x + 2 = 0$: $$ x = \frac{-13 \pm \sqrt{13^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2} = \frac{-13 \pm \sqrt{169 - 8}}{2} = \frac{-13 \pm \sqrt{161}}{2} $$ Обозначим эти корни как $x_a = \frac{-13 - \sqrt{161}}{2}$ и $x_b = \frac{-13 + \sqrt{161}}{2}$. Корни многочлена $g(x)$ это $x_a, x_b$ и $1$. Решим неравенство $g(x) \leq 0$, то есть $(x-1)(x^2 + 13x + 2) \leq 0$. Учитывая, что $x_a \approx -12.85$ и $x_b \approx -0.15$, методом интервалов получаем, что $g(x) \leq 0$ при $x \in (-\infty, x_a] \cup [x_b, 1]$.

3. Поиск решений
Корни исходного уравнения должны принадлежать как ОДЗ, так и множеству, где $g(x) \leq 0$. Найдем пересечение этих множеств: $$ \left( (-\infty, -4] \cup [1, +\infty) \right) \cap \left( (-\infty, \frac{-13 - \sqrt{161}}{2}] \cup [\frac{-13 + \sqrt{161}}{2}, 1] \right) $$ Так как $\frac{-13 - \sqrt{161}}{2} \approx -12.85$, что меньше, чем $-4$, то пересечение $(-\infty, -4]$ и $(-\infty, \frac{-13 - \sqrt{161}}{2}]$ есть интервал $(-\infty, \frac{-13 - \sqrt{161}}{2}]$. Так как $\frac{-13 + \sqrt{161}}{2} \approx -0.15$, то пересечение $[1, +\infty)$ и $[\frac{-13 + \sqrt{161}}{2}, 1]$ есть единственная точка $\{1\}$. Таким образом, все возможные решения принадлежат множеству $(-\infty, \frac{-13 - \sqrt{161}}{2}] \cup \{1\}$.

4. Проверка кандидатов
Проверим точку $x=1$. Подставим ее в исходное уравнение: $$ \sqrt{1^2 + 3(1) - 4} + \sqrt[3]{1^3 + 12(1)^2 - 11(1) - 2} = \sqrt{0} + \sqrt[3]{0} = 0 $$ Равенство $0=0$ верно, значит $x=1$ является корнем уравнения.

Теперь рассмотрим интервал $I = (-\infty, \frac{-13 - \sqrt{161}}{2}]$. На этом интервале уравнение $\sqrt{x^2 + 3x - 4} = -\sqrt[3]{x^3 + 12x^2 - 11x - 2}$ должно выполняться. Равенство возможно только если обе части равны нулю, или обе положительны. Правая часть равна нулю только при $x=x_a = \frac{-13 - \sqrt{161}}{2}$ (поскольку $g(x_a)=0$). При $x=x_a$ левая часть равна $\sqrt{x_a^2+3x_a-4}$. Так как $x_a \neq 1$ и $x_a \neq -4$, то $x_a^2+3x_a-4 \neq 0$, и левая часть не равна нулю. Следовательно, $x=x_a$ не является корнем. Для $x \in (-\infty, x_a)$ имеем $x^2+3x-4 > 0$ и $g(x) < 0$. Тогда левая часть $\sqrt{x^2+3x-4}$ строго положительна. Правая часть $-\sqrt[3]{g(x)}$ также строго положительна, так как $g(x) < 0$. Таким образом, решения на интервале $(-\infty, x_a)$ теоретически могут существовать. Чтобы их найти, нужно решить уравнение, полученное возведением в степень. Возведя обе части $\sqrt{x^2 + 3x - 4} = -\sqrt[3]{g(x)}$ в шестую степень, получаем: $$ (x^2 + 3x - 4)^3 = (g(x))^2 $$ $$ ((x-1)(x+4))^3 = ((x-1)(x^2+13x+2))^2 $$ Так как $x \neq 1$, можно сократить на $(x-1)^2$: $$ (x-1)(x+4)^3 = (x^2+13x+2)^2 $$ Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, мы получим кубическое уравнение: $$ 15x^3 + 137x^2 + 36x + 68 = 0 $$ Обозначим $P(x) = 15x^3 + 137x^2 + 36x + 68$. Нам нужно найти корни этого уравнения на интервале $I = (-\infty, x_a)$. Исследуем $P(x)$. $\lim_{x \to -\infty} P(x) = -\infty$. Производная $P'(x) = 45x^2 + 274x + 36$ имеет два корня, меньший из которых $x_{max} \approx -5.9$. На интервале $(-\infty, x_{max})$ функция $P(x)$ возрастает. Так как $x_a \approx -12.85 < x_{max}$, то на всем интервале $I$ функция $P(x)$ является строго возрастающей. Ее наибольшее значение на этом интервале достигается при $x \to x_a$. Значение $P(x_a)$ можно найти, подставив $x_a$ в уравнение $(x-1)(x+4)^3 = (x^2+13x+2)^2$. При $x=x_a$, правая часть равна $(x_a^2+13x_a+2)^2 = 0^2 = 0$. Левая часть равна $(x_a-1)(x_a+4)^3$. Так как $x_a \approx -12.85$, то $x_a-1 < 0$ и $x_a+4 < 0$, следовательно $(x_a+4)^3 < 0$. Произведение двух отрицательных чисел положительно. Значит, $P(x_a) \neq 0$. Точнее, уравнение $P(x)=0$ не выполняется в точке $x_a$. Поскольку $P(x)$ строго возрастает на $(-\infty, x_a)$ и $P(x_a) \neq 0$ (на самом деле, можно показать, что $P(x_a)<0$), то $P(x)<0$ для всех $x \in (-\infty, x_a]$. Таким образом, на этом интервале нет корней.

Единственным решением уравнения является $x=1$.

Ответ: 1.