Номер 5, страница 234 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

5. Решите уравнение $4\sqrt[3]{x^2} - x\sqrt[3]{x} = 4$.

a) $-\sqrt{2}; \sqrt{2};$

б) $-2; 2;$

В) $\sqrt[3]{2};$

Г) $4\sqrt[3]{2};$

Д) $-2\sqrt{2}; 2\sqrt{2}.$

Дано уравнение: $4\sqrt[3]{x^2} - x\sqrt[3]{x} = 4$.

Для решения преобразуем члены уравнения, используя свойства степеней.
Заметим, что $\sqrt[3]{x^2} = (x^2)^{1/3} = x^{2/3}$.
Также заметим, что $x\sqrt[3]{x} = x^1 \cdot x^{1/3} = x^{1+1/3} = x^{4/3}$.
При этом $x^{4/3} = (x^{2/3})^2$.

Подставив преобразованные выражения в исходное уравнение, получим:
$4x^{2/3} - (x^{2/3})^2 = 4$.

Это уравнение удобно решать с помощью замены переменной. Пусть $y = x^{2/3}$. Тогда уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $y$:
$4y - y^2 = 4$.

Перенесем все члены в одну сторону:
$y^2 - 4y + 4 = 0$.

Левая часть уравнения представляет собой полный квадрат разности:
$(y - 2)^2 = 0$.

Отсюда находим единственное значение для $y$:
$y - 2 = 0 \implies y = 2$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$:
$x^{2/3} = 2$.

Запишем это уравнение в виде $\sqrt[3]{x^2} = 2$.
Возведем обе части уравнения в куб:
$(\sqrt[3]{x^2})^3 = 2^3$
$x^2 = 8$.

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Так как $\sqrt{a^2} = |a|$, уравнение $x^2 = 8$ имеет два решения:
$x = \pm\sqrt{8}$.
Упростим корень: $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.
Таким образом, мы получили два корня: $x_1 = 2\sqrt{2}$ и $x_2 = -2\sqrt{2}$.

Проверка.
Для обоих найденных корней ($x = 2\sqrt{2}$ и $x = -2\sqrt{2}$) значение $x^2$ равно 8.
Проверим значение выражения $x^{2/3} = \sqrt[3]{x^2}$:
$x^{2/3} = \sqrt[3]{8} = 2$.
Это соответствует нашему решению для $y$ ($y=2$).
Теперь проверим значение выражения $x^{4/3}$:
$x^{4/3} = (x^{2/3})^2 = 2^2 = 4$.
Подставим эти значения в преобразованное уравнение $4x^{2/3} - x^{4/3} = 4$:
$4(2) - 4 = 8 - 4 = 4$.
$4=4$.
Равенство выполняется, следовательно, оба корня найдены верно.

Ответ: $-2\sqrt{2}; 2\sqrt{2}$.