Номер 5, страница 13 - гдз по физике 11 класс учебник Жилко, Маркович

5. Тело колеблется с амплитудой $A = 20$ см и периодом $T = 1,0$ с. Запишите кинематический закон его движения, если в начальный момент времени $t = 0$ с отклонение маятника максимально. Постройте график зависимости $x(t)$.

Дано:

Амплитуда колебаний, $A = 20 \text{ см}$
Период колебаний, $T = 1,0 \text{ с}$
Начальное условие: в момент времени $t = 0 \text{ с}$, отклонение $x(0)$ максимально.

$A = 20 \text{ см} = 0,2 \text{ м}$
$T = 1,0 \text{ с}$

Найти:

1. Кинематический закон движения $x(t)$.
2. График зависимости $x(t)$.

Решение:

1. Запись кинематического закона движения.

Общий вид уравнения гармонических колебаний:
$x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$
где $A$ — амплитуда, $\omega$ — циклическая (угловая) частота, $t$ — время, $\phi_0$ — начальная фаза колебаний.

Амплитуда дана в условии и в системе СИ составляет $A = 0,2 \text{ м}$.

Найдем циклическую частоту $\omega$ через период $T$:
$\omega = \frac{2\pi}{T}$
Подставим значение периода $T = 1,0 \text{ с}$:
$\omega = \frac{2\pi}{1,0 \text{ с}} = 2\pi \text{ рад/с}$

Теперь определим начальную фазу $\phi_0$. По условию, в начальный момент времени $t = 0$ отклонение маятника максимально, то есть $x(0) = A$.
Подставим эти значения в общее уравнение колебаний:
$x(0) = A \cos(\omega \cdot 0 + \phi_0)$
$A = A \cos(\phi_0)$
Отсюда следует, что $\cos(\phi_0) = 1$. Простейшее решение этого уравнения — $\phi_0 = 0$.

Подставив все найденные величины ($A = 0,2 \text{ м}$, $\omega = 2\pi \text{ рад/с}$, $\phi_0 = 0$) в общее уравнение, получим искомый кинематический закон движения:
$x(t) = 0,2 \cos(2\pi t)$ (в СИ, где $x$ измеряется в метрах, а $t$ — в секундах).

2. Построение графика зависимости x(t).

Графиком функции $x(t) = 0,2 \cos(2\pi t)$ является косинусоида.

• Амплитуда колебаний $A = 0,2 \text{ м}$. Это означает, что максимальное отклонение от положения равновесия составляет 0,2 м, а минимальное – -0,2 м.
• Период колебаний $T = 1,0 \text{ с}$. Это время, за которое тело совершает одно полное колебание.
• Начальная фаза $\phi_0 = 0$. Это означает, что в момент $t=0$ тело находится в точке максимального отклонения ($x = A$).

Ключевые точки графика на первом периоде:

• При $t = 0 \text{ с}$: $x(0) = 0,2 \cos(0) = 0,2 \text{ м}$ (максимум).
• При $t = T/4 = 0,25 \text{ с}$: $x(0,25) = 0,2 \cos(2\pi \cdot 0,25) = 0,2 \cos(\pi/2) = 0 \text{ м}$ (положение равновесия).
• При $t = T/2 = 0,5 \text{ с}$: $x(0,5) = 0,2 \cos(2\pi \cdot 0,5) = 0,2 \cos(\pi) = -0,2 \text{ м}$ (минимум).
• При $t = 3T/4 = 0,75 \text{ с}$: $x(0,75) = 0,2 \cos(2\pi \cdot 0,75) = 0,2 \cos(3\pi/2) = 0 \text{ м}$ (положение равновесия).
• При $t = T = 1,0 \text{ с}$: $x(1,0) = 0,2 \cos(2\pi \cdot 1,0) = 0,2 \cos(2\pi) = 0,2 \text{ м}$ (максимум, начало нового цикла).

График функции $x(t)$:

Ответ:

Кинематический закон движения тела: $x(t) = 0,2 \cos(2\pi t)$, где $x$ выражено в метрах, а $t$ — в секундах. График зависимости $x(t)$ представлен выше.