Номер 2, страница 19 - гдз по физике 11 класс учебник Жилко, Маркович

2. По какой формуле определяется циклическая частота колебаний пружинного маятника? Период его колебаний?

Циклическая частота колебаний пружинного маятника

Решение

Пружинный маятник — это механическая система, состоящая из тела массой $m$, прикрепленного к пружине с коэффициентом жесткости $k$. Если вывести тело из положения равновесия, оно начнет совершать гармонические колебания. Второй закон Ньютона для такой системы (в проекции на ось колебаний, направленную вдоль пружины) имеет вид: $ma = -kx$, где $a$ — ускорение тела, а $x$ — его смещение от положения равновесия.

Поскольку ускорение является второй производной от координаты по времени ($a = \ddot{x}$), уравнение движения можно переписать в виде дифференциального уравнения: $m\ddot{x} = -kx$ $\ddot{x} + \frac{k}{m}x = 0$

Это уравнение является стандартным уравнением свободных незатухающих гармонических колебаний, которое в общем виде записывается как: $\ddot{x} + \omega^2 x = 0$ Здесь $\omega$ — это циклическая (или угловая) частота колебаний.

Сравнивая эти два уравнения, можно найти выражение для квадрата циклической частоты: $\omega^2 = \frac{k}{m}$

Таким образом, формула для определения циклической частоты колебаний пружинного маятника: $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ В системе СИ масса $m$ измеряется в килограммах (кг), жесткость $k$ — в ньютонах на метр (Н/м), а циклическая частота $\omega$ — в радианах в секунду (рад/с).

Ответ: Циклическая частота колебаний пружинного маятника определяется по формуле $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$, где $k$ — жесткость пружины, а $m$ — масса колеблющегося тела.

Период его колебаний

Решение

Период колебаний $T$ — это физическая величина, равная времени одного полного колебания. Он обратно пропорционален линейной частоте $\nu$ ($T=1/\nu$) и связан с циклической частотой $\omega$ следующим соотношением: $\omega = 2\pi\nu = \frac{2\pi}{T}$

Из этого соотношения можно выразить период через циклическую частоту: $T = \frac{2\pi}{\omega}$

Подставим в эту формулу выражение для циклической частоты пружинного маятника, полученное ранее ($\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$): $T = \frac{2\pi}{\sqrt{\frac{k}{m}}}$

После преобразования получаем окончательную формулу для периода колебаний пружинного маятника (формула Гюйгенса): $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

Эта формула показывает, что период колебаний пружинного маятника зависит от его инертных ($m$) и упругих ($k$) свойств и не зависит от амплитуды колебаний (при условии их гармоничности). В системе СИ период $T$ измеряется в секундах (с).

Ответ: Период колебаний пружинного маятника определяется по формуле $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$, где $m$ — масса тела, а $k$ — жесткость пружины.