Номер 4, страница 19 - гдз по физике 11 класс учебник Жилко, Маркович

4. Какой маятник называют математическим? Запишите кинематический закон движения математического маятника.

Какой маятник называют математическим?

Решение

Математическим маятником называют идеализированную физическую модель. Эта модель представляет собой материальную точку (тело, размерами и формой которого можно пренебречь в условиях данной задачи), подвешенную на абсолютно нерастяжимой и невесомой нити. Предполагается, что маятник колеблется только под действием силы тяжести, а силы трения и сопротивление воздуха отсутствуют. Колебания происходят в одной вертикальной плоскости.

Ответ: Математический маятник — это идеализированная система, состоящая из материальной точки, подвешенной на невесомой и нерастяжимой нити, которая совершает колебания в поле силы тяжести.

Запишите кинематический закон движения математического маятника.

Решение

Колебания математического маятника являются гармоническими только при условии малых углов отклонения нити от вертикали (как правило, не более 4–5°). В этом случае возвращающая сила приблизительно пропорциональна смещению.

Кинематический закон (уравнение) движения описывает зависимость смещения маятника от положения равновесия с течением времени. Он может быть выражен через линейное смещение $x$ (длину дуги) или угловое смещение $\varphi$. В общем виде закон гармонических колебаний записывается как:
$x(t) = A \cos(\omega t + \varphi_0)$

В этой формуле:
$x(t)$ — смещение маятника от положения равновесия в момент времени $t$;
$A$ — амплитуда колебаний, то есть максимальное смещение от положения равновесия;
$\omega$ — циклическая (или круговая) частота колебаний. Для математического маятника она определяется соотношением $\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}$, где $g$ — ускорение свободного падения, а $l$ — длина нити маятника;
$t$ — время;
$\varphi_0$ — начальная фаза колебаний, которая характеризует состояние колебательной системы (смещение и скорость) в начальный момент времени ($t=0$);
$(\omega t + \varphi_0)$ — фаза колебаний в момент времени $t$.

Аналогично можно записать закон движения через угловое смещение $\varphi$:
$\varphi(t) = \varphi_{max} \cos(\omega t + \varphi_0)$, где $\varphi_{max}$ — амплитуда угловых колебаний.

Ответ: Кинематический закон движения математического маятника при малых колебаниях: $x(t) = A \cos(\omega t + \varphi_0)$, где циклическая частота $\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}$.