Номер 1, страница 234 - гдз по физике 11 класс учебник Жилко, Маркович

1. За промежуток времени $t$ начальное количество некоторого радиоактивного изотопа уменьшилось в $k_1 = 2,0$ раза. Во сколько $k_2$ раз оно уменьшится за промежуток времени $t_1 = 2t$?

Дано:

$k_1 = 2,0$ - коэффициент уменьшения количества изотопа за время $t$
$t_1 = 2t$ - новый промежуток времени

Найти:

$k_2$ - ?

Решение:

Закон радиоактивного распада связывает количество нераспавшихся атомов изотопа $N$ в момент времени $t$ с начальным количеством атомов $N_0$:$$ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} $$где $\lambda$ – постоянная распада, характерная для данного изотопа.

По условию, за промежуток времени $t$ начальное количество изотопа уменьшилось в $k_1$ раза. Это означает, что отношение начального количества $N_0$ к количеству $N(t)$ через время $t$ равно $k_1$:$$ k_1 = \frac{N_0}{N(t)} $$Подставим в это выражение формулу закона радиоактивного распада:$$ k_1 = \frac{N_0}{N_0 e^{-\lambda t}} = \frac{1}{e^{-\lambda t}} = e^{\lambda t} $$Поскольку по условию $k_1 = 2,0$, мы имеем:$$ e^{\lambda t} = 2,0 $$

Теперь найдем, во сколько раз ($k_2$) уменьшится количество изотопа за промежуток времени $t_1 = 2t$. Аналогично первому случаю, коэффициент уменьшения $k_2$ будет равен:$$ k_2 = \frac{N_0}{N(t_1)} $$где $N(t_1)$ - количество изотопа через время $t_1$.

Используем закон распада для времени $t_1 = 2t$:$$ N(t_1) = N_0 e^{-\lambda t_1} = N_0 e^{-\lambda (2t)} $$Используя свойства степеней, это выражение можно переписать так:$$ N(t_1) = N_0 (e^{\lambda t})^{-2} $$Теперь подставим это в формулу для $k_2$:$$ k_2 = \frac{N_0}{N_0 (e^{\lambda t})^{-2}} = (e^{\lambda t})^2 $$Ранее мы нашли, что $e^{\lambda t} = k_1$. Следовательно:$$ k_2 = (k_1)^2 $$Подставим числовое значение $k_1 = 2,0$:$$ k_2 = (2,0)^2 = 4,0 $$

Можно рассуждать и проще. Условие, что за время $t$ количество вещества уменьшилось в 2 раза, означает, что время $t$ равно периоду полураспада $T_{1/2}$ этого изотопа. Новый промежуток времени $t_1 = 2t$ равен двум периодам полураспада. За каждый период полураспада количество вещества уменьшается в 2 раза. Следовательно, за два периода полураспада оно уменьшится в $2 \times 2 = 4$ раза.

Ответ: за промежуток времени $t_1 = 2t$ количество радиоактивного изотопа уменьшится в 4,0 раза.