Номер 4, страница 235 - гдз по физике 11 класс учебник Жилко, Маркович

4. Определите число атомов, содержащихся в свинце $_{82}^{210}\text{Pb}$ массой $m = 0,632$ г. Сколько атомов останется через $\Delta t = 95$ лет, если период полураспада $T_{1/2} = 19$ лет?

Дано:

Изотоп свинца: $_{82}^{210}\text{Pb}$

Масса свинца: $m = 0,632 \text{ г}$

Промежуток времени: $\Delta t = 95 \text{ лет}$

Период полураспада: $T_{1/2} = 19 \text{ лет}$

Молярная масса: $M(_{82}^{210}\text{Pb}) \approx 210 \text{ г/моль}$

Постоянная Авогадро: $N_A \approx 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}$

Перевод в систему СИ:

Масса: $m = 0,632 \text{ г} = 0,632 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$

Молярная масса: $M \approx 210 \text{ г/моль} = 0,210 \text{ кг/моль}$

Так как время $\Delta t$ и период полураспада $T_{1/2}$ даны в одних и тех же единицах (годах), их отношение будет безразмерной величиной, и перевод в секунды не требуется.

Найти:

$N_0$ - начальное число атомов.

$N$ - число атомов, оставшихся через 95 лет.

Решение:

Решим задачу по частям, в соответствии с поставленными вопросами.

Определите число атомов, содержащихся в свинце $_{82}^{210}\text{Pb}$ массой $m = 0,632$ г.

Начальное число атомов $N_0$ в образце можно найти, используя массу образца $m$, молярную массу $M$ и число Авогадро $N_A$. Формула для расчета:

$N_0 = \frac{m}{M} \cdot N_A$

Молярная масса изотопа свинца $_{82}^{210}\text{Pb}$ принимается равной его массовому числу: $M \approx 210$ г/моль.

Выполним подстановку значений, используя массу в граммах и молярную массу в г/моль для удобства расчетов:

$N_0 = \frac{0,632 \text{ г}}{210 \text{ г/моль}} \cdot 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1} \approx 0,0030095 \text{ моль} \cdot 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1} \approx 1,812 \cdot 10^{21} \text{ атомов}$

Округляя результат до трех значащих цифр (как в исходном значении массы), получаем:

$N_0 \approx 1,81 \cdot 10^{21}$ атомов.

Ответ: В свинце массой 0,632 г содержится примерно $1,81 \cdot 10^{21}$ атомов.

Сколько атомов останется через $\Delta t = 95$ лет, если период полураспада $T_{1/2} = 19$ лет?

Число атомов, оставшихся после радиоактивного распада, определяется по закону радиоактивного распада:

$N = N_0 \cdot 2^{-\frac{\Delta t}{T_{1/2}}}$

где $N_0$ - начальное число атомов, $\Delta t$ - прошедшее время, $T_{1/2}$ - период полураспада.

Сначала вычислим, сколько периодов полураспада прошло за 95 лет:

$\frac{\Delta t}{T_{1/2}} = \frac{95 \text{ лет}}{19 \text{ лет}} = 5$

Прошло ровно 5 периодов полураспада.

Теперь подставим это значение в закон радиоактивного распада, используя более точное значение $N_0 \approx 1,812 \cdot 10^{21}$ из предыдущего расчета для минимизации погрешности округления:

$N = (1,812 \cdot 10^{21}) \cdot 2^{-5} = \frac{1,812 \cdot 10^{21}}{32} \approx 5,6625 \cdot 10^{19} \text{ атомов}$

Округляя результат до трех значащих цифр, получаем:

$N \approx 5,66 \cdot 10^{19}$ атомов.

Ответ: Через 95 лет останется примерно $5,66 \cdot 10^{19}$ атомов свинца.