Номер 13, страница 13 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

13. Как связаны между собой боковая поверхность призмы, периметр ее перпендикулярного сечения и боковое ребро?

Для ответа на этот вопрос рассмотрим произвольную, в общем случае наклонную, n-угольную призму. Введем следующие обозначения: $S_{бок}$ – площадь боковой поверхности призмы; $l$ – длина бокового ребра призмы (все боковые ребра призмы равны и параллельны друг другу); $P_{\perp}$ – периметр перпендикулярного сечения призмы. Перпендикулярное сечение – это сечение призмы плоскостью, перпендикулярной ее боковым ребрам.

Боковая поверхность призмы состоит из $n$ параллелограммов (боковых граней). Площадь боковой поверхности равна сумме площадей этих параллелограммов:

$S_{бок} = S_1 + S_2 + \dots + S_n$

Рассмотрим одну боковую грань. Это параллелограмм, сторонами которого являются два смежных ребра основания и два боковых ребра. Площадь параллелограмма можно найти как произведение его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Выберем в качестве основания этого параллелограмма боковое ребро длиной $l$. Тогда высотой, проведенной к этому основанию, будет перпендикулярное расстояние между двумя боковыми ребрами, ограничивающими данную грань.

Теперь рассмотрим перпендикулярное сечение. По определению, это многоугольник, полученный пересечением призмы плоскостью, перпендикулярной боковым ребрам. Стороны этого многоугольника соединяют соседние боковые ребра. Поскольку плоскость сечения перпендикулярна боковым ребрам, то каждая сторона этого сечения является перпендикуляром к паре боковых ребер, которые она соединяет. Следовательно, длина $i$-ой стороны перпендикулярного сечения, обозначим ее $p_i$, как раз и является высотой $i$-ой боковой грани (параллелограмма), проведенной к стороне $l$.

Таким образом, площадь $i$-ой боковой грани $S_i$ равна:

$S_i = l \cdot p_i$

Чтобы найти площадь всей боковой поверхности, нужно просуммировать площади всех боковых граней:

$S_{бок} = \sum_{i=1}^{n} S_i = \sum_{i=1}^{n} (l \cdot p_i)$

Так как длина бокового ребра $l$ является постоянной величиной для всех граней, ее можно вынести за знак суммы:

$S_{бок} = l \cdot \sum_{i=1}^{n} p_i = l \cdot (p_1 + p_2 + \dots + p_n)$

Сумма длин всех сторон перпендикулярного сечения $(p_1 + p_2 + \dots + p_n)$ является его периметром $P_{\perp}$.

В результате мы получаем искомую связь, которая является теоремой о площади боковой поверхности призмы:

$S_{бок} = P_{\perp} \cdot l$

Таким образом, площадь боковой поверхности призмы (как прямой, так и наклонной) равна произведению периметра ее перпендикулярного сечения на длину бокового ребра.

Ответ: Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра ее перпендикулярного сечения на длину бокового ребра. Это соотношение выражается формулой $S_{бок} = P_{\perp} \cdot l$, где $S_{бок}$ – площадь боковой поверхности, $P_{\perp}$ – периметр перпендикулярного сечения, а $l$ – длина бокового ребра.