Номер 18, страница 13 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

18. Чему равен объем произвольного параллелепипеда?

Объем произвольного параллелепипеда можно вычислить несколькими способами. Наиболее распространенные — через площадь основания и высоту, а также с помощью векторов.

1. Через площадь основания и высоту

Это классический геометрический подход. Объем любого параллелепипеда, в том числе и наклонного, равен произведению площади его основания на высоту.

Формула выглядит следующим образом:

$V = S_{осн} \cdot H$

где:
$V$ — объем параллелепипеда;
$S_{осн}$ — площадь основания. Основанием может быть любая из шести граней параллелепипеда. Так как все грани параллелепипеда — это параллелограммы, то $S_{осн}$ — это площадь соответствующего параллелограмма. Если стороны основания равны $a$ и $b$, а угол между ними $\alpha$, то площадь основания вычисляется как $S_{осн} = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$;
$H$ — высота параллелепипеда, то есть длина перпендикуляра, опущенного из любой точки верхнего основания на плоскость нижнего основания.

2. Через смешанное произведение векторов

Если параллелепипед построен на трех векторах $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$, выходящих из одной вершины, то его объем равен модулю смешанного произведения этих векторов.

Смешанное произведение векторов $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})$ вычисляется как скалярное произведение векторного произведения первых двух векторов на третий вектор:

$V = |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|$

Геометрический смысл этой формулы заключается в следующем:
- Модуль векторного произведения $|\vec{a} \times \vec{b}|$ равен площади параллелограмма (основания), построенного на векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$.
- Скалярное произведение $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$ дает ориентированный объем, знак которого зависит от того, является ли тройка векторов $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})$ правой или левой.
- Абсолютная величина (модуль) в формуле гарантирует, что объем, как геометрическая величина, будет неотрицательным.

Если векторы заданы своими координатами в декартовой системе: $\vec{a}=(a_x, a_y, a_z)$, $\vec{b}=(b_x, b_y, b_z)$, $\vec{c}=(c_x, c_y, c_z)$, то смешанное произведение равно определителю матрицы, составленной из координат этих векторов. Объем вычисляется как модуль этого определителя:

$V = \left| \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix} \right|$

Ответ: Объем произвольного параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту ($V = S_{осн} \cdot H$) или модулю смешанного произведения векторов, на которых он построен ($V = |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|$).