Номер 2, страница 15 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

2. Верно ли, что сечение призмы плоскостью, параллельной основанию, равно этому основанию?

Да, это утверждение верно. В контексте геометрии, «равно» означает «конгруэнтно», то есть фигуры имеют одинаковую форму и размеры, и их можно совместить наложением. Приведём доказательство этого факта.

По определению, призма — это многогранник, у которого две грани (основания) являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммами.

Пусть основания призмы, многоугольники $P_1$ и $P_2$, лежат в параллельных плоскостях $\alpha$ и $\beta$. Рассмотрим секущую плоскость $\gamma$, которая параллельна плоскостям оснований ($\gamma \parallel \alpha$) и пересекает призму между ними. В результате пересечения плоскости $\gamma$ с боковыми гранями призмы образуется многоугольник, который является сечением. Обозначим его $P_s$.

Чтобы доказать, что многоугольник сечения $P_s$ равен (конгруэнтен) основанию $P_1$, нужно показать, что у них равны соответственные стороны и соответственные углы.

Сначала докажем равенство сторон. Возьмём любую сторону основания $P_1$, например, отрезок $AB$, соединяющий вершины $A$ и $B$. Соответствующая сторона сечения $P_s$ будет отрезок $A'B'$, где $A'$ и $B'$ — точки пересечения секущей плоскости $\gamma$ с боковыми рёбрами, выходящими из вершин $A$ и $B$. Рассмотрим боковую грань, проходящую через ребро $AB$. Эта грань является параллелограммом. Плоскости $\alpha$ (основания) и $\gamma$ (сечения) параллельны. По свойству параллельных плоскостей, их линии пересечения с третьей плоскостью (плоскостью боковой грани) также параллельны. Значит, $A'B' \parallel AB$. Теперь рассмотрим четырёхугольник $ABB'A'$. Его стороны $AB$ и $A'B'$ параллельны. Стороны $AA'$ и $BB'$ являются частями боковых рёбер призмы, которые по определению параллельны. Следовательно, $ABB'A'$ — параллелограмм. У параллелограмма противоположные стороны равны, то есть $|A'B'| = |AB|$. Поскольку это рассуждение верно для любой стороны основания, все стороны сечения $P_s$ соответственно равны сторонам основания $P_1$.

Теперь докажем равенство углов. Возьмём любой угол основания $P_1$, например, $\angle ABC$. Соответствующий ему угол сечения будет $\angle A'B'C'$. Как мы показали выше, сторона $B'A'$ параллельна $BA$. Аналогично, сторона $B'C'$ параллельна $BC$. Кроме того, лучи $B'A'$ и $BA$ сонаправлены, как и лучи $B'C'$ и $BC$. Углы, образованные сонаправленными лучами, равны. Следовательно, $\angle A'B'C' = \angle ABC$. Это верно для всех углов, поэтому все углы сечения $P_s$ соответственно равны углам основания $P_1$.

Поскольку у многоугольника сечения $P_s$ и многоугольника основания $P_1$ соответственно равны все стороны и все углы, эти многоугольники равны (конгруэнтны).

Ответ: Да, утверждение верно. Сечение призмы плоскостью, параллельной основанию, является многоугольником, равным (конгруэнтным) основанию призмы.