Номер 6, страница 15 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

6. Определите:

а) может ли какая-либо боковая грань наклонного параллелепипеда быть прямоугольником;

б) сколько боковых граней наклонного параллелепипеда могут быть прямоугольниками.

а) может ли какая-либо боковая грань наклонного параллелепипеда быть прямоугольником;

Да, может.

По определению, наклонный параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковые ребра не перпендикулярны плоскостям оснований. Боковая грань является прямоугольником, если ее смежные стороны (т.е. боковое ребро и ребро основания) перпендикулярны.

Рассмотрим наклонный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с основанием $ABCD$. Чтобы боковая грань $ABB_1A_1$ была прямоугольником, необходимо, чтобы боковое ребро $AA_1$ было перпендикулярно ребру основания $AB$ ($AA_1 \perp AB$).

Параллелепипед при этом останется наклонным, если боковое ребро $AA_1$ не будет перпендикулярно плоскости основания $ABCD$. Для этого достаточно, чтобы ребро $AA_1$ не было перпендикулярно другому ребру основания, выходящему из той же вершины, например, ребру $AD$.

Такая ситуация возможна. Если боковое ребро перпендикулярно одной прямой в плоскости основания (ребру $AB$), но не перпендикулярно другой прямой в той же плоскости (ребру $AD$), то оно не перпендикулярно всей плоскости. Следовательно, параллелепипед будет наклонным, но одна из его боковых граней ($ABB_1A_1$) будет прямоугольником.

Ответ: Да, может.

б) сколько боковых граней наклонного параллелепипеда могут быть прямоугольниками.

Боковые грани параллелепипеда попарно параллельны и равны. Это означает, что если одна боковая грань является прямоугольником, то и противолежащая ей грань также является прямоугольником. Таким образом, количество прямоугольных боковых граней может быть только чётным: 0, 2 или 4.

Случай 4 прямоугольных граней:
Если все четыре боковые грани — прямоугольники, то любое боковое ребро (например, $AA_1$) перпендикулярно двум смежным ребрам основания (например, $AA_1 \perp AB$ и $AA_1 \perp AD$). По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно всей плоскости основания $ABCD$. Параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны плоскости основания, является прямым, а не наклонным. Следовательно, у наклонного параллелепипеда не может быть 4 прямоугольных боковых грани.

Случай 2 прямоугольных граней:
Как показано в пункте (а), такая ситуация возможна. Если боковое ребро перпендикулярно одной паре параллельных ребер основания (например, $AA_1 \perp AB$), но не перпендикулярно другой паре ($AA_1$ не перпендикулярно $AD$), то ровно две противолежащие боковые грани ($ABB_1A_1$ и $DCC_1D_1$) будут прямоугольниками. Сам параллелепипед при этом будет наклонным.

Случай 0 прямоугольных граней:
Это общий случай наклонного параллелепипеда, когда ни одно боковое ребро не перпендикулярно ни одному ребру основания.

Таким образом, у наклонного параллелепипеда может быть 0 или 2 боковые грани в форме прямоугольника. Вопрос "сколько могут быть" подразумевает максимально возможное число.

Ответ: Две.