Номер 11, страница 16 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

11. В прямоугольном параллелепипеде диагональ образует с плоскостью основания угол в 60°. Найдите диагональ параллелепипеда, учитывая, что радиус окружности, описанной около основания, равен 3 см.

Пусть дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Диагональ параллелепипеда, например $AC_1$, образует с плоскостью основания $ABCD$ угол $\alpha = 60^\circ$.

Угол между прямой (диагональю $AC_1$) и плоскостью (основанием $ABCD$) — это угол между этой прямой и её проекцией на плоскость. Проекцией диагонали $AC_1$ на плоскость основания является диагональ основания $AC$. Таким образом, угол $\angle C_1AC = 60^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AC_1C$. Поскольку параллелепипед прямоугольный, его боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания, а значит, и любой прямой в этой плоскости, включая диагональ $AC$. Следовательно, треугольник $\triangle AC_1C$ — прямоугольный, с прямым углом при вершине $C$.

В этом прямоугольном треугольнике:

• $AC_1$ — гипотенуза (искомая диагональ параллелепипеда).
• $AC$ — катет, прилежащий к углу $\alpha$ (диагональ основания).
• $CC_1$ — катет, противолежащий углу $\alpha$ (высота параллелепипеда).

Из определения косинуса в прямоугольном треугольнике имеем:
$\cos(\alpha) = \frac{AC}{AC_1}$
Отсюда выражаем диагональ параллелепипеда $AC_1$:
$AC_1 = \frac{AC}{\cos(\alpha)} = \frac{AC}{\cos(60^\circ)}$

Теперь найдём длину диагонали основания $AC$. Основанием параллелепипеда является прямоугольник $ABCD$. Окружность, описанная около прямоугольника, имеет своим центром точку пересечения его диагоналей, а её диаметр равен длине диагонали прямоугольника.

По условию, радиус $R$ окружности, описанной около основания, равен 3 см. Тогда диагональ основания $AC$ равна диаметру этой окружности:
$AC = 2R = 2 \cdot 3 = 6$ см.

Подставим найденное значение $AC$ в формулу для вычисления диагонали параллелепипеда:
$AC_1 = \frac{6}{\cos(60^\circ)}$
Поскольку $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:
$AC_1 = \frac{6}{1/2} = 6 \cdot 2 = 12$ см.

Ответ: 12 см.