Номер 18, страница 16 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

18. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 32 см, а боковое ребро — 24 см. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону верхнего основания и противолежащую вершину нижнего основания.

Пусть дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, где $ABC$ — нижнее основание, а $A_1B_1C_1$ — верхнее основание. Основания призмы являются равносторонними треугольниками, а боковые ребра перпендикулярны основаниям.

По условию задачи, сторона основания равна $a = 32$ см, а боковое ребро (высота призмы) равно $h = 24$ см.

Сечение проходит через сторону верхнего основания, например, $A_1B_1$, и противолежащую вершину нижнего основания, то есть $C$. Таким образом, искомое сечение — это треугольник $A_1B_1C$.

Найдем стороны этого треугольника.

Одна сторона, $A_1B_1$, является стороной верхнего основания, поэтому ее длина равна $a = 32$ см.

Две другие стороны, $A_1C$ и $B_1C$, соединяют вершины верхнего основания с вершиной нижнего основания. Рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1AC$ (угол $A_1AC$ прямой, так как боковое ребро $A_1A$ перпендикулярно основанию $ABC$). Катеты этого треугольника: $A_1A = h = 24$ см и $AC = a = 32$ см. По теореме Пифагора найдем гипотенузу $A_1C$:
$A_1C^2 = A_1A^2 + AC^2 = 24^2 + 32^2 = 576 + 1024 = 1600$
$A_1C = \sqrt{1600} = 40$ см.

Аналогично, для прямоугольного треугольника $B_1BC$ имеем $B_1B = h = 24$ см и $BC = a = 32$ см. Следовательно, $B_1C = A_1C = 40$ см.

Таким образом, сечение $A_1B_1C$ — это равнобедренный треугольник с основанием $A_1B_1 = 32$ см и боковыми сторонами $A_1C = B_1C = 40$ см.

Для нахождения площади этого треугольника найдем его высоту. Проведем высоту $CM_1$ из вершины $C$ к основанию $A_1B_1$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой, поэтому $M_1$ — середина $A_1B_1$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1M_1C$. Катет $A_1M_1$ равен половине основания $A_1B_1$:
$A_1M_1 = \frac{1}{2} A_1B_1 = \frac{1}{2} \cdot 32 = 16$ см.
Гипотенуза $A_1C = 40$ см. По теореме Пифагора найдем второй катет — высоту $CM_1$:
$CM_1^2 = A_1C^2 - A_1M_1^2 = 40^2 - 16^2 = 1600 - 256 = 1344$
$CM_1 = \sqrt{1344} = \sqrt{64 \cdot 21} = 8\sqrt{21}$ см.

Теперь можем найти площадь треугольника $A_1B_1C$ по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.
$S = \frac{1}{2} \cdot A_1B_1 \cdot CM_1 = \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot 8\sqrt{21} = 16 \cdot 8\sqrt{21} = 128\sqrt{21}$ см².

Ответ: $128\sqrt{21}$ см².