Номер 19, страница 16 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

19. Боковое ребро правильной треугольной призмы равно 8 см, а сторона основания — 4 см. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, которая проходит через:

а) боковое ребро и середину стороны основания, не имеющей с этим ребром общих точек;

б) три вершины призмы, не принадлежащие одной грани.

а) боковое ребро и середину стороны основания, не имеющей с этим ребром общих точек;

Рассмотрим правильную треугольную призму $ABCA_1B_1C_1$, где $ABC$ и $A_1B_1C_1$ — основания. По условию, боковое ребро равно 8 см, а сторона основания — 4 см. Значит, $AA_1 = BB_1 = CC_1 = 8$ см, и $AB = BC = CA = 4$ см. Основаниями призмы являются равносторонние треугольники.

Сечение проходит через боковое ребро, например $CC_1$, и середину стороны основания, не имеющей с этим ребром общих точек. Такой стороной является $AB$. Пусть $M$ — середина стороны $AB$. Плоскость сечения проходит через точки $C$, $C_1$ и $M$. Поскольку основания призмы параллельны, линия пересечения плоскости сечения с верхним основанием $A_1B_1C_1$ будет параллельна линии пересечения с нижним основанием $ABC$, то есть $CM$. Пусть $M_1$ — середина стороны $A_1B_1$. Тогда $C_1M_1$ параллельна $CM$. Таким образом, сечением является четырехугольник $CC_1M_1M$.

В этом четырехугольнике стороны $CC_1$ и $MM_1$ являются боковыми ребрами (или параллельны им) и, следовательно, параллельны и равны. $CC_1 \parallel MM_1$ и $CC_1 = MM_1 = 8$ см. Значит, $CC_1M_1M$ — параллелограмм. Так как призма правильная, ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости $ABC$, а значит, и любой прямой в этой плоскости, в том числе и прямой $CM$. Таким образом, угол $C_1CM$ прямой, $\angle C_1CM = 90^\circ$. Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.

Площадь прямоугольника $CC_1M_1M$ равна произведению его смежных сторон: $S = CC_1 \cdot CM$. Длина $CC_1$ нам известна: $CC_1 = 8$ см. Найдем длину $CM$. $CM$ является медианой в равностороннем треугольнике $ABC$. В равностороннем треугольнике медиана также является высотой. Длину высоты $h$ равностороннего треугольника со стороной $a$ можно найти по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Подставим значение $a = 4$ см: $CM = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь вычислим площадь сечения: $S_a = CC_1 \cdot CM = 8 \cdot 2\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$ см².

Ответ: $16\sqrt{3}$ см².

б) три вершины призмы, не принадлежащие одной грани.

Возьмем три вершины, которые не лежат в одной грани. Например, вершины $A$, $B$ и $C_1$. Вершины $A$ и $B$ лежат в плоскости нижнего основания $ABC$ и в плоскости боковой грани $ABB_1A_1$. Вершина $C_1$ не принадлежит ни одной из этих плоскостей. Вершины $A$ и $C_1$ лежат в плоскости боковой грани $ACC_1A_1$. Вершина $B$ не принадлежит этой плоскости. Вершины $B$ и $C_1$ лежат в плоскости боковой грани $BCC_1B_1$. Вершина $A$ не принадлежит этой плоскости. Следовательно, вершины $A$, $B$, $C_1$ не принадлежат одной грани. Сечением является треугольник $ABC_1$.

Найдем стороны этого треугольника. Сторона $AB$ является стороной основания, поэтому $AB = 4$ см. Сторона $AC_1$ является диагональю боковой грани $ACC_1A_1$. Эта грань — прямоугольник со сторонами $AC=4$ см и $CC_1=8$ см. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ACC_1$: $AC_1^2 = AC^2 + CC_1^2 = 4^2 + 8^2 = 16 + 64 = 80$. $AC_1 = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$ см. Аналогично, сторона $BC_1$ является диагональю боковой грани $BCC_1B_1$. Эта грань равна грани $ACC_1A_1$, поэтому $BC_1 = AC_1 = 4\sqrt{5}$ см.

Сечение $ABC_1$ — это равнобедренный треугольник с основанием $AB=4$ см и боковыми сторонами $AC_1 = BC_1 = 4\sqrt{5}$ см. Для нахождения площади этого треугольника найдем его высоту, проведенную к основанию $AB$. Пусть $H$ — середина $AB$. Тогда $C_1H$ — высота треугольника $ABC_1$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHC_1$. Его катетами являются $CH$ и $CC_1$. $CH$ — высота в равностороннем треугольнике основания $ABC$ со стороной 4 см. Ее длина: $CH = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см. $CC_1$ — боковое ребро призмы, $CC_1 = 8$ см. Поскольку боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно основанию $ABC$, оно перпендикулярно и отрезку $CH$. Значит, треугольник $CHC_1$ — прямоугольный. По теореме Пифагора найдем гипотенузу $C_1H$: $C_1H^2 = CH^2 + CC_1^2 = (2\sqrt{3})^2 + 8^2 = 12 + 64 = 76$. $C_1H = \sqrt{76} = \sqrt{4 \cdot 19} = 2\sqrt{19}$ см.

Теперь найдем площадь треугольника $ABC_1$: $S_b = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot C_1H = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2\sqrt{19} = 4\sqrt{19}$ см².

Ответ: $4\sqrt{19}$ см².