Номер 20, страница 17 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

20. Основанием наклонной призмы $ABCA_1B_1C_1$ является равнобедренный треугольник $ABC$, в котором $AB = AC = 13$ см, $BC = 10$ см и боковое ребро образует с плоскостью основания угол в $45^{\circ}$. Проекцией вершины $A_1$ на плоскость треугольника $ABC$ является точка пересечения его медиан. Найдите площадь грани $CC_1B_1B$.

Анализ основания призмы, треугольника $ABC$

Основанием наклонной призмы является равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны $AB = AC = 13$ см, а основание $BC = 10$ см.

Проведем медиану $AM$ к основанию $BC$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, также является высотой и биссектрисой. Следовательно, треугольник $AMB$ является прямоугольным ($ \angle AMB = 90^\circ $), и точка $M$ делит основание $BC$ пополам: $BM = MC = \frac{1}{2} BC = \frac{10}{2} = 5$ см.

По теореме Пифагора для треугольника $AMB$:
$AM^2 + BM^2 = AB^2$
$AM^2 + 5^2 = 13^2$
$AM^2 + 25 = 169$
$AM^2 = 144$
$AM = \sqrt{144} = 12$ см.

Определение высоты призмы и длины бокового ребра

По условию, проекцией вершины $A_1$ на плоскость основания $ABC$ является точка $O$ — точка пересечения медиан треугольника $ABC$. Точка $O$ является центроидом треугольника и делит медиану $AM$ в отношении 2:1, считая от вершины $A$.

$AO = \frac{2}{3} AM = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8$ см.

Высота призмы $H$ — это длина перпендикуляра $A_1O$, опущенного из вершины $A_1$ на плоскость основания. Угол между боковым ребром $AA_1$ и плоскостью основания $ABC$ — это угол между ребром $AA_1$ и его проекцией $AO$, то есть $\angle A_1AO$. По условию, $\angle A_1AO = 45^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1OA$ (где $\angle A_1OA = 90^\circ$). Так как один из острых углов равен $45^\circ$, то треугольник $A_1OA$ — равнобедренный, и $A_1O = AO = 8$ см. Таким образом, высота призмы $H = 8$ см.

Длину бокового ребра $l = AA_1$ найдем из этого же треугольника $A_1OA$:

$l = AA_1 = \sqrt{AO^2 + A_1O^2} = \sqrt{8^2 + 8^2} = \sqrt{64 + 64} = \sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}$ см.

Все боковые ребра призмы равны, поэтому $CC_1 = BB_1 = AA_1 = 8\sqrt{2}$ см.

Вычисление площади грани $CC_1B_1B$

Боковая грань $CC_1B_1B$ является параллелограммом со сторонами $BC = 10$ см и $CC_1 = 8\sqrt{2}$ см.

Для нахождения площади этого параллелограмма удобно использовать векторный метод. Введем трехмерную систему координат. Пусть начало координат будет в точке $M$ (середина отрезка $BC$). Направим ось $Ox$ вдоль луча $MC$, ось $Oy$ вдоль луча $MA$ и ось $Oz$ перпендикулярно плоскости $ABC$.

Координаты вершин основания будут:

• $C = (5, 0, 0)$
• $B = (-5, 0, 0)$
• $A = (0, 12, 0)$

Центроид $O$ лежит на медиане $AM$ и делит ее в отношении 2:1 от вершины $A$, значит $AO = 8$ и $OM = 4$. Координаты точки $O$: $O = (0, 4, 0)$.

Вершина $A_1$ проектируется в точку $O$, и высота призмы $A_1O = 8$. Следовательно, координаты вершины $A_1$: $A_1 = (0, 4, 8)$.

Найдем вектор бокового ребра $\vec{AA_1}$:

$\vec{AA_1} = A_1 - A = (0-0, 4-12, 8-0) = (0, -8, 8)$.

Так как боковые ребра призмы параллельны и равны, то $\vec{CC_1} = \vec{AA_1} = (0, -8, 8)$.

Площадь параллелограмма $CC_1B_1B$ равна модулю векторного произведения векторов, образующих его стороны, например, $\vec{BC}$ и $\vec{CC_1}$.

$\vec{BC} = C - B = (5 - (-5), 0-0, 0-0) = (10, 0, 0)$.

Вычислим векторное произведение:

$\vec{S} = \vec{BC} \times \vec{CC_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 10 & 0 & 0 \\ 0 & -8 & 8 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 8 - 0 \cdot (-8)) - \vec{j}(10 \cdot 8 - 0 \cdot 0) + \vec{k}(10 \cdot (-8) - 0 \cdot 0) = 0\vec{i} - 80\vec{j} - 80\vec{k}$

Площадь грани $S_{CC_1B_1B}$ равна модулю (длине) этого вектора:

$S_{CC_1B_1B} = |\vec{S}| = \sqrt{0^2 + (-80)^2 + (-80)^2} = \sqrt{6400 + 6400} = \sqrt{12800} = \sqrt{6400 \cdot 2} = 80\sqrt{2}$

Ответ: $80\sqrt{2}$ см$^2$.