Номер 27, страница 17 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

27. В наклонной треугольной призме расстояния между боковыми ребрами равны 15 см, 17 см, 8 см. Найдите боковое ребро призмы, учитывая, что ее боковая поверхность равновелика перпендикулярному сечению.

Пусть $L$ — искомая длина бокового ребра наклонной треугольной призмы.

Перпендикулярное сечение наклонной призмы представляет собой многоугольник, стороны которого — это расстояния между боковыми ребрами. В данном случае перпендикулярное сечение является треугольником со сторонами $a = 15$ см, $b = 17$ см и $c = 8$ см.

Площадь боковой поверхности наклонной призмы ($S_{бок}$) вычисляется по формуле: $S_{бок} = P_{сеч} \cdot L$, где $P_{сеч}$ — периметр перпендикулярного сечения.

Найдем периметр этого треугольника: $P_{сеч} = a + b + c = 15 + 17 + 8 = 40$ см.

Следовательно, площадь боковой поверхности призмы равна: $S_{бок} = 40 \cdot L$.

Площадь перпендикулярного сечения ($S_{сеч}$) можно найти с помощью формулы Герона, так как известны все три стороны треугольника: $S_{сеч} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр треугольника.

Вычислим полупериметр: $p = \frac{P_{сеч}}{2} = \frac{40}{2} = 20$ см.

Теперь вычислим площадь сечения: $S_{сеч} = \sqrt{20 \cdot (20 - 15) \cdot (20 - 17) \cdot (20 - 8)}$ $S_{сеч} = \sqrt{20 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 12}$ $S_{сеч} = \sqrt{100 \cdot 36} = \sqrt{3600} = 60$ см².

По условию задачи, боковая поверхность равновелика перпендикулярному сечению, что означает равенство их площадей: $S_{бок} = S_{сеч}$.

Составим и решим уравнение: $40 \cdot L = 60$ $L = \frac{60}{40} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5$ см.

Ответ: 1.5 см.