Номер 28, страница 17 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

28. Найдите полную поверхность и объем прямоугольного параллелепипеда, учитывая, что:

а) его диагональ равна 81 см, а измерения относятся как 2 : 7 : 26;

б) диагонали его граней равны 7 см, 8 см и 9 см;

в) его диагональ длиной 12 см составляет с одной боковой гранью угол в $30^{\circ}$, а с другой — угол в $45^{\circ}$;

г) сторона его основания длиной $a$ составляет с диагональю основания угол $\alpha$, а с диагональю боковой грани, в которой эта сторона лежит, — угол $\beta$;

д) диагональ прямоугольного параллелепипеда равна $l$ и составляет с одной боковой гранью угол в $30^{\circ}$, а с другой — угол в $45^{\circ}$.

а)

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина, высота) равны $a, b, c$. По условию, их отношение $a : b : c = 2 : 7 : 26$. Введем коэффициент пропорциональности $k$, тогда измерения можно записать как $a = 2k$, $b = 7k$, $c = 26k$.

Квадрат диагонали $d$ прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его трех измерений: $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$.

Подставим данные из условия: диагональ $d = 81$ см.

$81^2 = (2k)^2 + (7k)^2 + (26k)^2$

$6561 = 4k^2 + 49k^2 + 676k^2$

$6561 = (4 + 49 + 676)k^2$

$6561 = 729k^2$

$k^2 = \frac{6561}{729} = 9$

$k = \sqrt{9} = 3$ (так как измерения должны быть положительными).

Теперь найдем измерения параллелепипеда:

$a = 2k = 2 \cdot 3 = 6$ см.

$b = 7k = 7 \cdot 3 = 21$ см.

$c = 26k = 26 \cdot 3 = 78$ см.

Объем $V$ прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = abc$.

$V = 6 \cdot 21 \cdot 78 = 9828$ см³.

Площадь полной поверхности $S$ вычисляется по формуле $S = 2(ab + ac + bc)$.

$S = 2(6 \cdot 21 + 6 \cdot 78 + 21 \cdot 78) = 2(126 + 468 + 1638) = 2(2232) = 4464$ см².

Ответ: объем $V = 9828$ см³, площадь полной поверхности $S = 4464$ см².

б)

Пусть измерения параллелепипеда равны $a, b, c$. Диагонали его граней — это диагонали прямоугольников со сторонами $(a,b)$, $(a,c)$ и $(b,c)$. Их длины, согласно теореме Пифагора, равны $d_{ab} = \sqrt{a^2+b^2}$, $d_{ac} = \sqrt{a^2+c^2}$, $d_{bc} = \sqrt{b^2+c^2}$.

По условию, диагонали граней равны 7 см, 8 см и 9 см. Получаем систему уравнений:

$a^2 + b^2 = 7^2 = 49$

$a^2 + c^2 = 8^2 = 64$

$b^2 + c^2 = 9^2 = 81$

Сложим все три уравнения: $(a^2 + b^2) + (a^2 + c^2) + (b^2 + c^2) = 49 + 64 + 81$.

$2(a^2 + b^2 + c^2) = 194$, откуда $a^2 + b^2 + c^2 = 97$.

Теперь, вычитая из последнего уравнения каждое из исходных, найдем квадраты измерений:

$c^2 = (a^2 + b^2 + c^2) - (a^2 + b^2) = 97 - 49 = 48$

$b^2 = (a^2 + b^2 + c^2) - (a^2 + c^2) = 97 - 64 = 33$

$a^2 = (a^2 + b^2 + c^2) - (b^2 + c^2) = 97 - 81 = 16$

Таким образом, измерения равны:

$a = \sqrt{16} = 4$ см.

$b = \sqrt{33}$ см.

$c = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ см.

Объем $V = abc$:

$V = 4 \cdot \sqrt{33} \cdot 4\sqrt{3} = 16\sqrt{33 \cdot 3} = 16\sqrt{99} = 16\sqrt{9 \cdot 11} = 16 \cdot 3\sqrt{11} = 48\sqrt{11}$ см³.

Площадь полной поверхности $S = 2(ab + ac + bc)$:

$S = 2(4\sqrt{33} + 4 \cdot 4\sqrt{3} + \sqrt{33} \cdot 4\sqrt{3}) = 2(4\sqrt{33} + 16\sqrt{3} + 4\sqrt{99}) = 2(4\sqrt{33} + 16\sqrt{3} + 12\sqrt{11})$ см².

Ответ: объем $V = 48\sqrt{11}$ см³, площадь полной поверхности $S = 2(4\sqrt{33} + 16\sqrt{3} + 12\sqrt{11})$ см².

в)

Пусть измерения параллелепипеда равны $a, b, c$, а его диагональ $d=12$ см. Угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью его грани — это угол между диагональю и ее проекцией на эту грань. Синус этого угла равен отношению длины ребра, перпендикулярного этой грани, к длине диагонали параллелепипеда.

Пусть диагональ составляет угол $30^\circ$ с гранью, перпендикулярной ребру $a$, и угол $45^\circ$ с гранью, перпендикулярной ребру $b$.

Тогда $a = d \sin(30^\circ)$ и $b = d \sin(45^\circ)$.

$a = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см.

$b = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ см.

Третье измерение $c$ найдем из формулы для квадрата диагонали $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$.

$12^2 = 6^2 + (6\sqrt{2})^2 + c^2$

$144 = 36 + 72 + c^2$

$144 = 108 + c^2$

$c^2 = 144 - 108 = 36 \Rightarrow c = 6$ см.

Объем $V = abc$:

$V = 6 \cdot 6\sqrt{2} \cdot 6 = 216\sqrt{2}$ см³.

Площадь полной поверхности $S = 2(ab + ac + bc)$:

$S = 2(6 \cdot 6\sqrt{2} + 6 \cdot 6 + 6\sqrt{2} \cdot 6) = 2(36\sqrt{2} + 36 + 36\sqrt{2}) = 2(36 + 72\sqrt{2}) = 72(1 + 2\sqrt{2})$ см².

Ответ: объем $V = 216\sqrt{2}$ см³, площадь полной поверхности $S = 72(1 + 2\sqrt{2})$ см².

г)

Пусть измерения параллелепипеда равны $x, y, z$, где $x$ и $y$ — стороны основания, а $z$ — высота. По условию, одна из сторон основания имеет длину $a$. Пусть $x=a$.

Эта сторона ($x=a$) составляет с диагональю основания угол $\alpha$. Диагональ основания, сторона $x=a$ и сторона $y$ образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике $\tan(\alpha) = \frac{y}{x} = \frac{y}{a}$, откуда $y = a \tan(\alpha)$.

Та же сторона $a$ составляет угол $\beta$ с диагональю боковой грани, в которой она лежит. Эта боковая грань является прямоугольником со сторонами $a$ и $z$. Диагональ этой грани, сторона $a$ и высота $z$ образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике $\tan(\beta) = \frac{z}{a}$, откуда $z = a \tan(\beta)$.

Таким образом, измерения параллелепипеда равны $a$, $a \tan(\alpha)$ и $a \tan(\beta)$.

Объем $V = xyz$:

$V = a \cdot (a \tan(\alpha)) \cdot (a \tan(\beta)) = a^3 \tan(\alpha) \tan(\beta)$.

Площадь полной поверхности $S = 2(xy + xz + yz)$:

$S = 2(a \cdot a \tan(\alpha) + a \cdot a \tan(\beta) + a \tan(\alpha) \cdot a \tan(\beta)) = 2(a^2 \tan(\alpha) + a^2 \tan(\beta) + a^2 \tan(\alpha) \tan(\beta))$.

$S = 2a^2(\tan(\alpha) + \tan(\beta) + \tan(\alpha) \tan(\beta))$.

Ответ: объем $V = a^3 \tan(\alpha) \tan(\beta)$, площадь полной поверхности $S = 2a^2(\tan(\alpha) + \tan(\beta) + \tan(\alpha) \tan(\beta))$.

д)

Условия этой задачи аналогичны условиям задачи в), с той разницей, что длина диагонали равна $l$. Пусть измерения параллелепипеда равны $a, b, c$.

Диагональ $d = l$. Углы с боковыми гранями равны $30^\circ$ и $45^\circ$.

Аналогично решению задачи в), находим два измерения:

$a = d \sin(30^\circ) = l \cdot \frac{1}{2} = \frac{l}{2}$.

$b = d \sin(45^\circ) = l \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Третье измерение $c$ находим из формулы $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$:

$l^2 = \left(\frac{l}{2}\right)^2 + \left(\frac{l\sqrt{2}}{2}\right)^2 + c^2$

$l^2 = \frac{l^2}{4} + \frac{2l^2}{4} + c^2$

$l^2 = \frac{3l^2}{4} + c^2$

$c^2 = l^2 - \frac{3l^2}{4} = \frac{l^2}{4} \Rightarrow c = \frac{l}{2}$.

Объем $V = abc$:

$V = \frac{l}{2} \cdot \frac{l\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{l}{2} = \frac{l^3\sqrt{2}}{8}$.

Площадь полной поверхности $S = 2(ab + ac + bc)$:

$S = 2\left(\frac{l}{2} \cdot \frac{l\sqrt{2}}{2} + \frac{l}{2} \cdot \frac{l}{2} + \frac{l\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{l}{2}\right) = 2\left(\frac{l^2\sqrt{2}}{4} + \frac{l^2}{4} + \frac{l^2\sqrt{2}}{4}\right)$.

$S = 2\left(\frac{l^2 + 2l^2\sqrt{2}}{4}\right) = \frac{l^2(1 + 2\sqrt{2})}{2}$.

Ответ: объем $V = \frac{\sqrt{2}}{8}l^3$, площадь полной поверхности $S = \frac{1 + 2\sqrt{2}}{2}l^2$.