Номер 29, страница 17 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

29. Найдите боковую поверхность прямого параллелепипеда, учитывая, что стороны его основания равны 2 см и 7 см, меньшая диагональ параллелепипеда — 8 см и один из углов основания — $60^\circ$.

Для решения задачи воспользуемся формулой для нахождения боковой поверхности прямого параллелепипеда: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $h$ — высота параллелепипеда (длина бокового ребра).

Основанием прямого параллелепипеда является параллелограмм.

1. Найдем меньшую диагональ основания параллелепипеда.

В основании лежит параллелограмм со сторонами $a = 2$ см, $b = 7$ см и острым углом между ними $\alpha = 60°$. Меньшая диагональ параллелограмма ($d_м$) лежит напротив острого угла. Найдем ее по теореме косинусов:

$d_м^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \alpha$

Подставим известные значения:

$d_м^2 = 2^2 + 7^2 - 2 \cdot 2 \cdot 7 \cdot \cos 60°$

$d_м^2 = 4 + 49 - 28 \cdot \frac{1}{2}$

$d_м^2 = 53 - 14 = 39$

Таким образом, квадрат меньшей диагонали основания равен 39.

2. Найдем высоту параллелепипеда.

Меньшая диагональ прямого параллелепипеда ($D_м$), его высота ($h$) и меньшая диагональ основания ($d_м$) образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:

$D_м^2 = d_м^2 + h^2$

Нам известно, что $D_м = 8$ см. Подставим значения и найдем высоту $h$:

$8^2 = 39 + h^2$

$64 = 39 + h^2$

$h^2 = 64 - 39$

$h^2 = 25$

$h = \sqrt{25} = 5$ см.

3. Найдем боковую поверхность параллелепипеда.

Сначала вычислим периметр основания:

$P_{осн} = 2(a + b) = 2(2 + 7) = 2 \cdot 9 = 18$ см.

Теперь можем найти площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 18 \cdot 5 = 90$ см$^2$.

Ответ: $90$ см$^2$.