Номер 32, страница 18 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

32*. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна $d$ и образует с плоскостью основания угол $\varphi$, а с меньшей боковой гранью — угол $\alpha$. Найдите боковую поверхность параллелепипеда.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда равны $a$, $b$ и $c$, где $c$ — высота, а $a$ и $b$ — стороны основания. Диагональ параллелепипеда равна $d$.

Угол между диагональю $d$ и плоскостью основания равен $\phi$. Высота $c$, диагональ основания $d_{осн}$ и сама диагональ $d$ образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике $d$ является гипотенузой, а $c$ — катетом, противолежащим углу $\phi$. Отсюда находим высоту $c$:

$c = d \sin(\phi)$

Также из этого треугольника находим квадрат диагонали основания:

$d_{осн}^2 = (d \cos(\phi))^2 = d^2 \cos^2(\phi)$

Поскольку для основания (прямоугольника со сторонами $a$ и $b$) справедливо $d_{осн}^2 = a^2 + b^2$, то получаем:

$a^2 + b^2 = d^2 \cos^2(\phi)$

Далее, по условию, диагональ $d$ образует угол $\alpha$ с меньшей боковой гранью. Площади боковых граней равны $ac$ и $bc$. Пусть, без ограничения общности, $a \le b$. Тогда меньшая боковая грань — это грань с ребрами $a$ и $c$. Ребро с длиной $b$ перпендикулярно плоскости этой грани.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза — это диагональ $d$, а катеты — это ребро $b$ и проекция диагонали $d$ на плоскость меньшей грани. Угол $\alpha$ находится между диагональю $d$ и ее проекцией, следовательно, он лежит против катета $b$.

Из этого прямоугольного треугольника получаем соотношение:

$\sin(\alpha) = \frac{b}{d}$

Отсюда находим одну из сторон основания (которая, как мы видим, является большей):

$b = d \sin(\alpha)$

Теперь найдем вторую сторону основания $a$ из ранее полученного равенства $a^2 + b^2 = d^2 \cos^2(\phi)$:

$a^2 + (d \sin(\alpha))^2 = d^2 \cos^2(\phi)$

$a^2 = d^2 \cos^2(\phi) - d^2 \sin^2(\alpha) = d^2(\cos^2(\phi) - \sin^2(\alpha))$

$a = d\sqrt{\cos^2(\phi) - \sin^2(\alpha)}$

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ — это периметр основания, умноженный на высоту:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot c = 2(a+b)c$

Подставим найденные выражения для $a$, $b$ и $c$:

$S_{бок} = 2(d\sqrt{\cos^2(\phi) - \sin^2(\alpha)} + d \sin(\alpha)) \cdot d \sin(\phi)$

Упростив выражение, получим окончательный результат:

$S_{бок} = 2d^2 \sin(\phi) (\sin(\alpha) + \sqrt{\cos^2(\phi) - \sin^2(\alpha)})$

Ответ: $S_{бок} = 2d^2 \sin(\phi)(\sin(\alpha) + \sqrt{\cos^2(\phi) - \sin^2(\alpha)})$.