Номер 30, страница 18 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

30. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 3 м и 9 м, а его диагонали составляют с плоскостью основания углы в $45^\circ$ и $60^\circ$. Найдите диагонали параллелепипеда, его боковую поверхность.

Пусть дан прямой параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, в основании которого лежит параллелограмм $ABCD$. Стороны основания равны $a = AD = 3$ м и $b = AB = 9$ м. Высота параллелепипеда равна $h = AA_1$. Диагонали параллелепипеда $AC_1$ и $BD_1$ образуют с плоскостью основания углы $\alpha_1 = 45^{\circ}$ и $\alpha_2 = 60^{\circ}$.

Угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания — это угол между самой диагональю и её проекцией на эту плоскость. Проекциями диагоналей $AC_1$ и $BD_1$ на плоскость основания являются диагонали основания $AC$ и $BD$ соответственно. Обозначим их $d_1 = AC$ и $d_2 = BD$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ACC_1$ и $\triangle BDD_1$ (так как параллелепипед прямой, его боковые ребра перпендикулярны основанию). В этих треугольниках катетами являются диагонали основания и высота параллелепипеда, а гипотенузами — диагонали параллелепипеда. Из этих треугольников имеем:

$h = d_1 \cdot \tan(\alpha_1)$

$h = d_2 \cdot \tan(\alpha_2)$

Тангенс угла возрастает с увеличением угла (в первой четверти), поэтому большей диагонали основания соответствует меньший угол наклона диагонали параллелепипеда. Пусть $d_1$ — большая диагональ основания, тогда она соответствует углу $45^{\circ}$, а $d_2$ — меньшая диагональ, и она соответствует углу $60^{\circ}$.

$h = d_1 \cdot \tan(45^{\circ}) = d_1 \cdot 1 = d_1$

$h = d_2 \cdot \tan(60^{\circ}) = d_2 \sqrt{3}$

Отсюда получаем соотношение между диагоналями основания: $d_1 = d_2\sqrt{3}$.

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон: $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$.

Подставим известные значения сторон $a=3$ и $b=9$:

$d_1^2 + d_2^2 = 2(3^2 + 9^2) = 2(9 + 81) = 2 \cdot 90 = 180$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} d_1 = d_2\sqrt{3} \\ d_1^2 + d_2^2 = 180 \end{cases}$

Подставим первое уравнение во второе:

$(d_2\sqrt{3})^2 + d_2^2 = 180$

$3d_2^2 + d_2^2 = 180$

$4d_2^2 = 180$

$d_2^2 = 45$

$d_2 = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$ м.

Теперь найдем $d_1$ и высоту $h$:

$d_1 = d_2\sqrt{3} = 3\sqrt{5} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{15}$ м.

$h = d_1 = 3\sqrt{15}$ м.

Теперь мы можем найти требуемые величины.

Диагонали параллелепипеда

Обозначим диагонали параллелепипеда как $D_1$ и $D_2$. Они являются гипотенузами в прямоугольных треугольниках $\triangle ACC_1$ и $\triangle BDD_1$.

Для первой диагонали $D_1$ (соответствующей $d_1$ и углу $45^{\circ}$):

$D_1 = \frac{d_1}{\cos(45^{\circ})} = \frac{3\sqrt{15}}{1/\sqrt{2}} = 3\sqrt{15} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{30}$ м.

Для второй диагонали $D_2$ (соответствующей $d_2$ и углу $60^{\circ}$):

$D_2 = \frac{d_2}{\cos(60^{\circ})} = \frac{3\sqrt{5}}{1/2} = 2 \cdot 3\sqrt{5} = 6\sqrt{5}$ м.

Ответ: диагонали параллелепипеда равны $3\sqrt{30}$ м и $6\sqrt{5}$ м.

Боковая поверхность

Боковая поверхность прямого параллелепипеда вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $h$ — высота.

Периметр основания (параллелограмма) равен:

$P_{осн} = 2(a+b) = 2(3+9) = 2 \cdot 12 = 24$ м.

Высота параллелепипеда, как мы нашли ранее, $h = 3\sqrt{15}$ м.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = 24 \cdot 3\sqrt{15} = 72\sqrt{15}$ м$^2$.

Ответ: боковая поверхность равна $72\sqrt{15}$ м$^2$.