Номер 33, страница 18 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

33*. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с острым углом $\phi$. Через противолежащий ему катет и противолежащую этому катету вершину основания проведено сечение, составляющее угол $\beta$ с плоскостью основания. Определите, какую часть от площади боковой поверхности призмы составляет площадь сечения.

Пусть дана прямая призма $ABCA_1B_1C_1$, основанием которой является прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Пусть острый угол при вершине $A$ равен $\phi$, то есть $\angle CAB = \phi$. Тогда катет, противолежащий этому углу, — это $BC$. Сечение проходит через катет $BC$ и противолежащую этому катету вершину другого основания, то есть через вершину $A_1$. Таким образом, сечение — это треугольник $A_1BC$.

Введём обозначения для сторон основания: пусть катет $AC = b$, тогда катет $BC = a$ и гипотенуза $AB = c$. Из определения тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике $ABC$ имеем:

$a = b \cdot \tan\phi$

$c = \frac{b}{\cos\phi}$

По условию, плоскость сечения $A_1BC$ составляет с плоскостью основания $ABC$ угол $\beta$. Линией пересечения этих плоскостей является прямая $BC$.

Поскольку призма прямая, её боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Следовательно, $AA_1 \perp AC$. Так как $\triangle ABC$ прямоугольный, то $AC \perp BC$.

Из того, что $AC \perp BC$ и $A_1C$ является наклонной к плоскости основания с проекцией $AC$, по теореме о трёх перпендикулярах, $A_1C \perp BC$.

Таким образом, угол $\angle A_1CA$ является линейным углом двугранного угла между плоскостью сечения и плоскостью основания. По условию, этот угол равен $\beta$.

$\angle A_1CA = \beta$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1AC$ (угол $A$ прямой, так как призма прямая). Пусть высота призмы $h = AA_1$. Из этого треугольника находим зависимость между высотой $h$ и катетом $b$:

$\tan\beta = \frac{AA_1}{AC} = \frac{h}{b} \implies h = b \cdot \tan\beta$.

Теперь найдём площадь сечения $S_{сеч}$ и площадь боковой поверхности призмы $S_{бок}$.

1. Найдём площадь сечения.

Площадь сечения $S_{сеч}$ — это площадь треугольника $A_1BC$. Мы доказали, что $\angle A_1CB = 90^\circ$, значит, это прямоугольный треугольник. Его катеты — $BC$ и $A_1C$.

$BC = a = b \cdot \tan\phi$.

Катет $A_1C$ найдём из прямоугольного треугольника $A_1AC$:

$A_1C = \frac{AC}{\cos(\angle A_1CA)} = \frac{b}{\cos\beta}$.

Теперь можем вычислить площадь сечения:

$S_{сеч} = S_{A_1BC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot A_1C = \frac{1}{2} \cdot (b \tan\phi) \cdot \left(\frac{b}{\cos\beta}\right) = \frac{b^2 \tan\phi}{2\cos\beta}$.

Альтернативно, площадь сечения можно найти по формуле площади ортогональной проекции. Проекцией сечения $A_1BC$ на плоскость основания является треугольник $ABC$.

$S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BC = \frac{1}{2} b \cdot (b \tan\phi) = \frac{1}{2}b^2\tan\phi$.

Тогда $S_{сеч} = \frac{S_{ABC}}{\cos\beta} = \frac{\frac{1}{2}b^2\tan\phi}{\cos\beta} = \frac{b^2\tan\phi}{2\cos\beta}$.

2. Найдём площадь боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту.

$S_{бок} = P_{ABC} \cdot h = (a+b+c) \cdot h$.

Выразим все величины через $b$, $\phi$ и $\beta$:

$a = b\tan\phi$

$c = \frac{b}{\cos\phi}$

$h = b\tan\beta$

$P_{ABC} = b + b\tan\phi + \frac{b}{\cos\phi} = b \left( 1 + \tan\phi + \frac{1}{\cos\phi} \right) = b \left( 1 + \frac{\sin\phi}{\cos\phi} + \frac{1}{\cos\phi} \right) = b \left( \frac{\cos\phi + \sin\phi + 1}{\cos\phi} \right)$.

$S_{бок} = b \left( \frac{1+\sin\phi+\cos\phi}{\cos\phi} \right) \cdot (b\tan\beta) = b^2 \tan\beta \frac{1+\sin\phi+\cos\phi}{\cos\phi}$.

3. Найдём искомое отношение площадей.

Теперь найдём, какую часть от площади боковой поверхности призмы составляет площадь сечения, то есть найдём отношение $\frac{S_{сеч}}{S_{бок}}$.

$\frac{S_{сеч}}{S_{бок}} = \frac{\frac{b^2\tan\phi}{2\cos\beta}}{b^2 \tan\beta \frac{1+\sin\phi+\cos\phi}{\cos\phi}}$.

Сокращаем $b^2$ и подставляем $\tan\phi = \frac{\sin\phi}{\cos\phi}$ и $\tan\beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta}$:

$\frac{S_{сеч}}{S_{бок}} = \frac{\frac{\sin\phi/\cos\phi}{2\cos\beta}}{\frac{\sin\beta}{\cos\beta} \cdot \frac{1+\sin\phi+\cos\phi}{\cos\phi}} = \frac{\sin\phi}{2\cos\phi\cos\beta} \cdot \frac{\cos\beta\cos\phi}{\sin\beta(1+\sin\phi+\cos\phi)}$.

После сокращения общих множителей $\cos\phi$ и $\cos\beta$ в числителе и знаменателе, получаем итоговое выражение:

$\frac{S_{сеч}}{S_{бок}} = \frac{\sin\phi}{2\sin\beta(1+\sin\phi+\cos\phi)}$.

Ответ: $\frac{\sin\phi}{2\sin\beta(1+\sin\phi+\cos\phi)}$