Номер 40, страница 18 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

40. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, диагональ которого:

a) равна 18 см и составляет угол в 30° с плоскостью одной из боковых граней и угол в 45° с боковым ребром;

б) составляет угол $\alpha$ с плоскостью одной из боковых граней и угол $\beta$ с плоскостью основания, а его высота равна $h$.

а)

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина и высота) равны $a, b, c$. Его объем вычисляется по формуле $V = abc$. Пусть $d$ — длина диагонали параллелепипеда, по условию $d = 18$ см.

Рассмотрим диагональ параллелепипеда, его боковое ребро (высоту $c$) и диагональ основания $d_{осн}$. Они образуют прямоугольный треугольник, в котором диагональ параллелепипеда является гипотенузой. Угол между диагональю и боковым ребром, согласно условию, равен $45^\circ$. Из этого треугольника можно найти высоту $c$ и длину диагонали основания $d_{осн}$:

$c = d \cdot \cos(45^\circ) = 18 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 9\sqrt{2}$ см.

$d_{осн} = d \cdot \sin(45^\circ) = 18 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 9\sqrt{2}$ см.

Теперь рассмотрим угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью одной из боковых граней. Этот угол, равный по условию $30^\circ$, образуется между диагональю и ее проекцией на эту грань. Катет, противолежащий этому углу в соответствующем прямоугольном треугольнике, равен одному из измерений основания, перпендикулярному этой грани. Обозначим это измерение как $b$. Тогда:

$b = d \cdot \sin(30^\circ) = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9$ см.

Мы знаем диагональ основания $d_{осн} = 9\sqrt{2}$ см и одно из измерений основания $b = 9$ см. Так как основание является прямоугольником, его измерения $a$ и $b$ связаны с диагональю $d_{осн}$ по теореме Пифагора: $a^2 + b^2 = d_{осн}^2$. Найдем второе измерение основания, $a$:

$(9\sqrt{2})^2 = a^2 + 9^2$

$162 = a^2 + 81$

$a^2 = 162 - 81 = 81$

$a = 9$ см.

Таким образом, измерения параллелепипеда равны $a=9$ см, $b=9$ см, $c=9\sqrt{2}$ см. Теперь мы можем вычислить его объем:

$V = a \cdot b \cdot c = 9 \cdot 9 \cdot 9\sqrt{2} = 729\sqrt{2}$ см$^3$.

Ответ: $729\sqrt{2}$ см$^3$.

б)

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда равны $a, b, c$. По условию, его высота равна $h$, поэтому примем $c=h$. Пусть $d$ — длина диагонали параллелепипеда.

Угол между диагональю и плоскостью основания равен $\beta$. Диагональ $d$, высота $h$ и диагональ основания $d_{осн}$ образуют прямоугольный треугольник. Из соотношений в этом треугольнике получаем:

$\sin(\beta) = \frac{h}{d} \implies d = \frac{h}{\sin(\beta)}$

$d_{осн} = d \cos(\beta) = \frac{h \cos(\beta)}{\sin(\beta)} = h \cot(\beta)$

Угол между диагональю и плоскостью одной из боковых граней равен $\alpha$. Пусть измерение, перпендикулярное этой грани, равно $b$. Оно является катетом в другом прямоугольном треугольнике, где гипотенуза — $d$, а угол, противолежащий катету $b$, равен $\alpha$. Отсюда находим $b$:

$b = d \sin(\alpha) = \frac{h \sin(\alpha)}{\sin(\beta)}$

Измерения основания $a$ и $b$ и его диагональ $d_{осн}$ связаны теоремой Пифагора: $a^2 + b^2 = d_{осн}^2$. Выразим $a$ из этого соотношения:

$a^2 = d_{осн}^2 - b^2 = (h \cot(\beta))^2 - \left(\frac{h \sin(\alpha)}{\sin(\beta)}\right)^2 = h^2 \frac{\cos^2(\beta)}{\sin^2(\beta)} - h^2 \frac{\sin^2(\alpha)}{\sin^2(\beta)} = \frac{h^2(\cos^2(\beta) - \sin^2(\alpha))}{\sin^2(\beta)}$

Следовательно, $a = \frac{h}{\sin(\beta)} \sqrt{\cos^2(\beta) - \sin^2(\alpha)}$. Для существования такого параллелепипеда необходимо, чтобы выражение под корнем было положительным: $\cos^2(\beta) > \sin^2(\alpha)$.

Объем параллелепипеда равен произведению его измерений $V = abc$. Подставляем найденные выражения для $a, b, c$:

$V = \left(\frac{h}{\sin(\beta)} \sqrt{\cos^2(\beta) - \sin^2(\alpha)}\right) \cdot \left(\frac{h \sin(\alpha)}{\sin(\beta)}\right) \cdot h = \frac{h^3 \sin(\alpha)}{\sin^2(\beta)} \sqrt{\cos^2(\beta) - \sin^2(\alpha)}$

Ответ: $V = \frac{h^3 \sin(\alpha)}{\sin^2(\beta)} \sqrt{\cos^2(\beta) - \sin^2(\alpha)}$.