Номер 42, страница 19 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

42. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда $MNOPM_1N_1O_1P_1$, учитывая, что:

а) $MO_1 = 1$ м, $\angle O_1MO = 45^{\circ}$, $\angle O_1MN = 60^{\circ}$;

б) $MO_1 = 24$ см, $\angle O_1MP_1 = 45^{\circ}$ и диагональ $MO_1$ составляет угол в $30^{\circ}$ с плоскостью одной из боковых граней.

Для нахождения объема прямоугольного параллелепипеда $V$ необходимо найти длины его трех измерений (ребер, выходящих из одной вершины): длину $a$, ширину $b$ и высоту $c$. Объем вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$. Пусть измерения параллелепипеда $MN O P M_1 N_1 O_1 P_1$ равны $a = MN$, $b = MP$ и $c = MM_1$.

а)

Дано: главная диагональ $MO_1 = 1$ м, угол между главной диагональю и диагональю основания $\angle O_1MO = 45^\circ$, угол между главной диагональю и ребром основания $\angle O_1MN = 60^\circ$.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MOO_1$. Он прямоугольный, так как ребро $OO_1$ (высота параллелепипеда) перпендикулярно плоскости основания $MNOP$, а значит, и диагонали $MO$, лежащей в этой плоскости. Катеты этого треугольника - высота $OO_1 = c$ и диагональ основания $MO$. Гипотенуза - главная диагональ $MO_1$.

Из $\triangle MOO_1$ найдем высоту $c$ и диагональ основания $MO$:
Высота $c = OO_1 = MO_1 \cdot \sin(\angle O_1MO) = 1 \cdot \sin(45^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ м.
Диагональ основания $MO = MO_1 \cdot \cos(\angle O_1MO) = 1 \cdot \cos(45^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ м.

2. Диагональ прямоугольного основания $MO$ связана с его сторонами $a=MN$ и $b=MP$ соотношением $MO^2 = MN^2 + MP^2 = a^2 + b^2$.
Следовательно, $a^2 + b^2 = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

3. Теперь рассмотрим угол $\angle O_1MN = 60^\circ$. Это угол между главной диагональю $MO_1$ и ребром $MN$. Рассмотрим треугольник $\triangle MNO_1$. Ребро $MN$ перпендикулярно грани $NOO_1N_1$, так как это прямоугольный параллелепипед. Диагональ боковой грани $NO_1$ лежит в этой грани, поэтому $MN \perp NO_1$. Таким образом, $\triangle MNO_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $N$.

4. В прямоугольном треугольнике $\triangle MNO_1$ катет $MN=a$ прилежит к углу $\angle O_1MN = 60^\circ$, а гипотенузой является $MO_1 = 1$.
Тогда $a = MN = MO_1 \cdot \cos(\angle O_1MN) = 1 \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ м.

5. Теперь мы можем найти второе измерение основания $b$. Подставим значение $a$ в соотношение, полученное в шаге 2:
$a^2 + b^2 = \frac{1}{2}$
$(\frac{1}{2})^2 + b^2 = \frac{1}{2}$
$\frac{1}{4} + b^2 = \frac{1}{2}$
$b^2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$
$b = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ м.

6. Мы нашли все три измерения параллелепипеда: $a = \frac{1}{2}$ м, $b = \frac{1}{2}$ м, $c = \frac{\sqrt{2}}{2}$ м.
Вычислим объем:
$V = a \cdot b \cdot c = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{8}$ м$^3$.

Ответ: $V = \frac{\sqrt{2}}{8}$ м$^3$.

б)

Дано: главная диагональ $MO_1 = 24$ см, угол $\angle O_1MP_1 = 45^\circ$, и диагональ $MO_1$ составляет угол $30^\circ$ с плоскостью одной из боковых граней.

1. Пусть измерения параллелепипеда равны $a=MN$, $b=MP$, $c=MM_1$. Главная диагональ связана с измерениями формулой $MO_1^2 = a^2+b^2+c^2$.
$a^2+b^2+c^2 = 24^2 = 576$.

2. Рассмотрим угол $\angle O_1MP_1 = 45^\circ$. Это угол между главной диагональю $MO_1$ и диагональю боковой грани $MPP_1M_1$, равной $MP_1$. Ребро $P_1O_1$ параллельно и равно ребру $MN$. Так как $MN$ перпендикулярно плоскости грани $MPP_1M_1$, то и $P_1O_1$ перпендикулярно этой плоскости, а значит, и прямой $MP_1$, лежащей в ней. Следовательно, треугольник $\triangle O_1MP_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $P_1$.

3. В прямоугольном $\triangle O_1MP_1$ гипотенуза $MO_1 = 24$ см. Катет $P_1O_1$ равен ребру $a=MN$.
$a = P_1O_1 = MO_1 \cdot \sin(\angle O_1MP_1) = 24 \cdot \sin(45^\circ) = 24 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 12\sqrt{2}$ см.

4. Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Боковые грани, проходящие через вершину $M$, это $MPP_1M_1$ и $MNN_1M_1$.
Проекцией диагонали $MO_1$ на плоскость грани $MPP_1M_1$ является диагональ $MP_1$. Угол между $MO_1$ и этой плоскостью равен $\angle O_1MP_1$, который по условию составляет $45^\circ$.
Так как $45^\circ \neq 30^\circ$, то угол в $30^\circ$ диагональ $MO_1$ составляет с другой боковой гранью, то есть с гранью $MNN_1M_1$.

5. Проекцией диагонали $MO_1$ на плоскость грани $MNN_1M_1$ является диагональ $MN_1$. Угол между $MO_1$ и плоскостью грани $MNN_1M_1$ равен $\angle O_1MN_1$. Таким образом, $\angle O_1MN_1 = 30^\circ$.
Рассмотрим треугольник $\triangle O_1MN_1$. Он прямоугольный с прямым углом при вершине $N_1$, так как ребро $N_1O_1$ (равное $MP=b$) перпендикулярно плоскости грани $MNN_1M_1$ и, следовательно, прямой $MN_1$.

6. В прямоугольном $\triangle O_1MN_1$ гипотенуза $MO_1 = 24$ см. Катет $N_1O_1$ равен ребру $b=MP$.
$b = N_1O_1 = MO_1 \cdot \sin(\angle O_1MN_1) = 24 \cdot \sin(30^\circ) = 24 \cdot \frac{1}{2} = 12$ см.

7. Теперь, зная $a$ и $b$, найдем третье измерение $c$ из соотношения для квадрата главной диагонали:
$a^2+b^2+c^2 = 576$
$(12\sqrt{2})^2 + 12^2 + c^2 = 576$
$(144 \cdot 2) + 144 + c^2 = 576$
$288 + 144 + c^2 = 576$
$432 + c^2 = 576$
$c^2 = 576 - 432 = 144$
$c = \sqrt{144} = 12$ см.

8. Мы нашли все три измерения параллелепипеда: $a = 12\sqrt{2}$ см, $b = 12$ см, $c = 12$ см.
Вычислим объем:
$V = a \cdot b \cdot c = (12\sqrt{2}) \cdot 12 \cdot 12 = 144 \cdot 12\sqrt{2} = 1728\sqrt{2}$ см$^3$.

Ответ: $V = 1728\sqrt{2}$ см$^3$.