Номер 41, страница 19 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

41. Диагональ $B_1D$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ составляет с плоскостью основания угол в $45^\circ$, а двугранный угол $A_1B_1BD$ равен $60^\circ$. Найдите объем параллелепипеда, учитывая, что диагональ основания равна $12$ см.

Для нахождения объема прямоугольного параллелепипеда $V$ используется формула $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота. В данном случае основанием является прямоугольник $ABCD$, а высотой — ребро $BB_1$. Таким образом, $V = S_{ABCD} \cdot BB_1$.

1. Нахождение высоты параллелепипеда

Угол между диагональю $B_1D$ и плоскостью основания $(ABC)$ по определению является углом между самой диагональю и ее проекцией на эту плоскость. Поскольку параллелепипед прямоугольный, ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания. Следовательно, $BD$ является проекцией наклонной $B_1D$ на плоскость $(ABC)$.

Таким образом, угол, о котором говорится в условии, — это $\angle B_1DB = 45^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle B_1BD$. Он является прямоугольным, так как $BB_1 \perp (ABC)$, а значит $BB_1 \perp BD$. В этом треугольнике нам известны катет $BD = 12$ см (диагональ основания) и противолежащий ему угол $\angle B_1DB = 45^\circ$.

Высота параллелепипеда $h = BB_1$. Найдем ее из соотношения в прямоугольном треугольнике:

$BB_1 = BD \cdot \tan(\angle B_1DB)$

$BB_1 = 12 \cdot \tan(45^\circ) = 12 \cdot 1 = 12 \text{ см}$.

2. Нахождение площади основания

Двугранный угол $A_1BD$ образован плоскостями $(A_1BD)$ и $(ABD)$. Его величина — это величина соответствующего ему линейного угла. Для построения линейного угла проведем перпендикуляр из точки $A$ к общему ребру $BD$. Пусть $AH \perp BD$, где $H \in BD$.

Поскольку $A_1A$ — перпендикуляр к плоскости основания $(ABC)$, то $AH$ является проекцией наклонной $A_1H$ на эту плоскость. По теореме о трех перпендикулярах, если проекция прямой ($AH$) перпендикулярна некоторой прямой на плоскости ($BD$), то и сама наклонная ($A_1H$) перпендикулярна этой прямой. Таким образом, $A_1H \perp BD$.

Следовательно, $\angle A_1HA$ — это линейный угол двугранного угла $A_1BD$, и по условию $\angle A_1HA = 60^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle A_1AH$. Он прямоугольный, так как $A_1A \perp (ABC)$, а значит $A_1A \perp AH$. Мы знаем катет $A_1A = BB_1 = 12$ см. Найдем другой катет $AH$:

$\tan(\angle A_1HA) = \frac{A_1A}{AH} \implies AH = \frac{A_1A}{\tan(\angle A_1HA)} = \frac{12}{\tan(60^\circ)} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \text{ см}$.

Отрезок $AH$ является высотой треугольника $ABD$, проведенной к стороне $BD$. Площадь основания параллелепипеда $S_{ABCD}$ равна удвоенной площади треугольника $ABD$.

$S_{ABCD} = 2 \cdot S_{\triangle ABD} = 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot BD \cdot AH\right) = BD \cdot AH$.

$S_{ABCD} = 12 \cdot 4\sqrt{3} = 48\sqrt{3} \text{ см}^2$.

3. Нахождение объема параллелепипеда

Теперь мы можем вычислить объем, зная площадь основания и высоту:

$V = S_{ABCD} \cdot BB_1 = 48\sqrt{3} \cdot 12 = 576\sqrt{3} \text{ см}^3$.

Ответ: $576\sqrt{3} \text{ см}^3$.