Номер 44, страница 19 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

44. Докажите, что:

а) равные тела являются равновеликими;

б) равновеликие тела не обязательно являются равными.

а) равные тела являются равновеликими;

Доказательство этого утверждения основывается на определениях равных тел и объёма.

По определению, два тела $T_1$ и $T_2$ называются равными, если одно из них можно перевести в другое с помощью движения (изометрии), то есть существует такое движение $f$, что $f(T_1) = T_2$. Движение — это преобразование пространства, сохраняющее расстояния между точками (например, параллельный перенос, поворот, зеркальное отражение).

Равновеликими называются тела, имеющие равные объёмы. Обозначим объём тела $T$ как $V(T)$.

Одним из основных свойств объёма является его инвариантность относительно движения. Это означает, что при любом движении $f$ объём тела не изменяется, то есть $V(f(T)) = V(T)$.

Поскольку тела $T_1$ и $T_2$ равны, то $T_2 = f(T_1)$ для некоторого движения $f$. Тогда, используя свойство инвариантности объёма, получаем:

$V(T_2) = V(f(T_1)) = V(T_1)$

Таким образом, объёмы тел $T_1$ и $T_2$ равны, а это по определению означает, что они равновеликие. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

б) равновеликие тела не обязательно являются равными.

Чтобы доказать это утверждение, достаточно привести контрпример. То есть, найти два тела, которые имеют равные объёмы (равновеликие), но не являются равными (не могут быть совмещены движением).

Рассмотрим два тела:

1. Куб с длиной ребра $a = 2$ см.
2. Прямоугольный параллелепипед с измерениями $l = 4$ см, $w = 2$ см, $h = 1$ см.

1. Найдём их объёмы.

Объём куба вычисляется по формуле $V_{куб} = a^3$.
$V_{куб} = 2^3 = 8$ см³.

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V_{пар} = l \cdot w \cdot h$.
$V_{пар} = 4 \cdot 2 \cdot 1 = 8$ см³.

Поскольку $V_{куб} = V_{пар} = 8$ см³, то эти два тела являются равновеликими.

2. Проверим, являются ли они равными.

Два тела равны, если они имеют одинаковую форму и размеры, то есть их можно совместить наложением. Куб имеет все рёбра одинаковой длины ($2$ см). Прямоугольный параллелепипед имеет рёбра разной длины ($4$ см, $2$ см, $1$ см). Так как у этих тел разные наборы длин рёбер, их невозможно совместить с помощью движения. Например, самое длинное ребро куба равно $2$ см, а у параллелепипеда — $4$ см. Движение сохраняет расстояния, поэтому ребро длиной $4$ см не может перейти в ребро длиной $2$ см.

Следовательно, эти два тела не являются равными.

Таким образом, мы привели пример двух тел, которые равновелики, но не равны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.